Me gustaría afirmar algo sobre la existencia de soluciones $x_1,x_2,\dots,x_n \in \mathbb{R}$ al conjunto de ecuaciones
$\sum_{j=1}^n x_j^k = np_k$ , $k=1,2,\dots,m$
para las constantes adecuadas $p_k$ . Por "adecuado", quiero decir que hay algunos requisitos básicos que el $p_k$ deben satisfacer claramente para que haya alguna solución ( $p_{2k} \ge p_k^2$ por ejemplo).
Hay muchas maneras de ver esta pregunta: encontrar las coordenadas $(x_1,\dots,x_n)$ en $n$ -El espacio donde se cruzan todas estas estructuras geométricas (hiperplano, hiperesfera, etc.). O bien, se puede ver esto como la determinación de la $x_j$ necesaria para generar la matriz truncada de Vandermonde $V$ (sin la fila de 1's) tal que $V{\bf 1} = np$ donde ${\bf 1} = (1,1,\dots,1)^T$ y $p = (p_1,\dots,p_m)^T$ .
No estoy convencido de que tenga que haber una solución cuando uno tiene $m$ grados de libertad $x_1,\dots,x_m$ (igual que el número de ecuaciones). De hecho, sería interesante incluso poder demostrar que para un número finito $m$ ecuaciones $k=1,2,\dots,m$ que uno podría encontrar $x_1,\dots,x_n$ para un límite de $n$ (es decir, el número de puntos de datos necesarios no se dispara).
Una pregunta posterior sería preguntar si se requieren soluciones ordenadas, es decir $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n$ , hace que la solución sea única para los casos en que existe una solución.
Nota: $m=2$ es fácil. Hay al menos una solución = el punto o los puntos en los que una recta corta una circunferencia dado que $p_2 \ge p_1^2$ .
Cualquier indicación sobre este tema sería útil, especialmente los nombres de los problemas que se le parecen.
