Dejemos que $f_1:S^1 \to S^1$ sea un mapa de grado $2$ (es decir, $f_1(z)=z^2$ cuando elegimos una coordenada propia centrada en el origen) y $f_2:S^1 \to S^1$ sea un mapa de grado $3$ ( $f_2(z)=z^3$ ). Ahora definimos un mapa $g:S^1\times S^1 \to S^1\times S^1$ poniendo $g(z,w):=(f_1(z),f_2(w))$ . Entonces, ¿cómo puedo describir explícitamente los mapas inducidos entre estos grupos de homología $g_i':H_i(T^2)\to H_i(T^2)$ para $i=0,1,2$ ? Supongo $g_1'(n,m)=(2n,3m)$ y los otros son las identidades, pero no puedo probarlo rigurosamente.
Respuesta
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DE ACUERDO. Si conoces la homología celular, puedes ver la representación del toro como el cuadrado unitario en el plano (con los bordes opuestos del cuadrado identificados por pares), pensando en el resto del plano como si estuviera dividido en una cuadrícula de cuadrados unitarios por la red de números enteros.
Ahora el mapa que tienes envía el eje x a sí mismo por $x \mapsto 2x$ y el $y$ eje a sí mismo por $ \mapsto 2y$ . El cuadrado unitario es una celda que genera el 2º grupo de homología, ¿no? Bueno, bajo este mapa, se envía a 6 copias de sí mismo. ¿Cuál es el mapa inducido en la homología?
Alternativamente, piense en dos subdivisiones celulares del cuadrado unitario: una en $3 \times 2$ matriz de pequeños cuadrados; el generador de la 2ª homología es la suma de estos seis pequeños cuadrados. En el otro, sólo hay un cuadrado grande. Ahora su mapa toma el generador de homología en la primera celulación en 6 veces el generador de homología en la segunda. Así que puedes escribir explícitamente el mapa en cadena; ¿cuál es el mapa inducido en la homología?
