Diagonalización de una función matricial

Question

¿Es posible diagonalizar una matriz fundamental $\phi(t)$ de una ecuación diferencial $dx(t)=A(t)x(t)dt$ , es decir, ¿es posible utilizar una matriz diagonal en lugar de la matriz fundamental?

Answer 1

Depende de las particularidades de la matriz $\phi(t)$ ¿no es así? Tendríamos que imponer algunas condiciones para garantizar que $\phi(t)$ es diagonalizable para todos los valores de $t \in (a,b)$ , donde $(a,b)$ es el dominio de la solución de la ecuación diferencial.

https://www.math.psu.edu/~anovikov/acm104/lecture_11.pdf https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix

Supongamos ahora que hemos cumplido los supuestos suficientes (sean los que sean) para $\phi(t)$ sea diagonalizable para todo $t \in (a,b)$ .

Entonces, por supuesto, existe una función matricial ortogonal $\psi(t)$ tal que para todo $t \in (a,b)$

$$(\psi(t))^{-1} \phi(t) \psi(t)=(\psi(t))^{T} \phi(t) \psi(t)$$

es una matriz diagonal, es decir, la función correspondiente es una función matricial diagonal.

Véase en estos apuntes de clase un ejemplo en el que se puede aplicar dicha técnica para simplificar los cálculos asociados a la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales:

http://www2.latech.edu/~schroder/slides/DE_slides/diagonalizable_systems.pdf

Espero que esto ayude.