Matriz normal $A= \left( \begin{smallmatrix}2 & i \\ i & 2 \end{smallmatrix} \right)$

Question

Dada la matriz normal $A= \left( \begin{array}{cc} 2 & i \\ i & 2 \end{array} \right) $ qué es la matriz unitaria $P$ con un resultado positivo de entradas en la primera columna y la segunda fila y para las que $ P^* AP$ ¿es diagonal?

He procedido así: primero encuentro que hay dos valores propios $2 \pm i$ y luego obtuve los vectores propios correspondientes como $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ et $\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)$ así que si escribo $P =\left( \begin{array}{cc} 1& 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) $ entonces $ P^* AP$ da una matriz diagonal.

Estoy confundido si este proceso está bien, o si usted puede decir alguna manera mejor. Además, la P que he encontrado no satisface la P solicitada. Por favor, diga alguna pista, donde me estoy equivocando.

Answer 1

Has encontrado una matriz $P$ de vectores propios que tiene columnas ortogonales, tal que $P^* A P$ es diagonal. Sólo hay un requisito que no se cumple: las columnas de $P$ no son una unidad. Esto es bastante fácil de arreglar dividiendo cada columna por su norma, de modo que se obtiene

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$