Tengo problemas para hacer la descomposición QR de una matriz...
Dejemos que $A=\begin{bmatrix} {1} & {1} & {0} \\ {0} &{1} &{1} \\ {1} & {0} &{1} \end{bmatrix}$
Encuentre la descomposición QR para A
Esto es lo que he estado haciendo:
Elijo esta base, $B=\left \{(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)\right \}$ (las columnas de la matriz).
Ahora utilizo el proceso Gram-Schmidt (y aquí es donde tengo problemas)
$u_{1}=(1,0,1)$
$u_{2}=(1,1,0)$ (porque $<(1,0,1), (1,1,0)>=0$ )
$u_{3}=(0,1,1)-\frac{<(0,1,1), (1,1,0)>}{<(1,1,0), (1,1,0)>}(1,1,0)-\frac{<(0,1,1), (1,0,1)>}{<(1,0,1), (1,0,1)>}(1,0,1)=$ $(0,1,1)-1/2(1,1,0)-1/2(1,0,1)=(-1, 1/2, 1/2)$
Y ahora encuentro la norma para los tres vectores:
$||u_{1}||=||u_{2}||=||u_{3}||=\sqrt{2}$
Así que la base ortonormal debe ser $B'= \left \{(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0), (\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}})\right \}$ (Que no es ortonormal)
Así que $Q=\begin{bmatrix} {\frac{1}{\sqrt{2}}} & {\frac{1}{\sqrt{2}}} & {\frac{-1}{\sqrt{2}}} \\ {0} &{\frac{1}{\sqrt{2}}} &{\frac{1}{2\sqrt{2}}} \\ {\frac{0}{\sqrt{2}}} & {0} &{\frac{1}{2\sqrt{2}}} \end{bmatrix}$
Que $Q^{t}Q \neq I$ ( $I$ siendo la matriz de identidad), así que todo lo que hice estuvo mal... ¿Dónde está mi error?