Prueba $\cos x = \frac{8}{\pi}\sum_n \frac{n\sin 2nx}{4n^2-1}$ con la serie de Fourier

Question

Quiero probar $$\cos x = \frac{8}{\pi}\sum_n \frac{n\sin 2nx}{4n^2-1}\;x\in(0,2\pi)\;\;\;\;[1]$$

Tengo dos preguntas al respecto:

$(1)$ ¿Cómo puedo encontrar una función $f$ de manera que la primera serie puede obtenerse utilizando la serie de Fourier de $f$ ? Sé que la serie de Fourier estará dada por

$$f(x)=a_0+\sum_n\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)$$

entonces debo asumir que el $\cos$ en la parte izquierda de $[1]$ es el $\cos$ dentro de esta última serie?

Como no hay $\pi$ aparecen en el denominador de $[1]$ y $n\sin 2nx=n\sin nx\cos nx$ Pensé que podría $a_n=n\sin nx$ o $b_n =n\cos nx$ pero estos términos están dados por integrales definidas por lo que no $x$ término puede aparecer en ellos.

Un enfoque alternativo podría ser el uso de $L=\pi/2$ , entonces debe ser $b_n=\frac{n}{4n^2-1}$ pero esto implicaría $\frac{n}{4n^2-1}=\int_0^{\pi/2}f(x)\sin nx dx$ y estoy teniendo algunos problemas para conseguir montar el seno.

$(2)$ En el caso general, dada una serie cualquiera cómo puedo proceder para encontrar la función $f$ ?

Answer 1

Usted quiere que el intervalo sea $0<x<\color{blue}{\pi}$ porque entonces puedes mostrar $$ \cos x = \frac{8}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{n\sin(2nx)}{4n^2-1}, \quad x\in(0,\color{blue}{\pi}).\tag{1} $$ de la siguiente manera.

En este caso, el cálculo estándar de los coeficientes del seno de Fourier para la serie $$ \cos x=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx),\quad 0<x<\pi, $$ rinde \begin{align} b_n={2\over \pi}\int_0^\pi \cos x\sin(nx)\,dx &= \begin{cases} 0, & n=1,\\ {2n(1+(-1)^n)\over \pi(n^2-1)}, &n=2,3,\dots, \end{cases} \\ &= \begin{cases} 0, & n=1,3,5,\dots\\ {4n\over \pi(n^2-1)}, &n=2,4,6,\dots \end{cases} \end{align} Eso es, $$ \cos x=\sum_{n\text{ even}}{4n\over \pi(n^2-1)}\sin(nx) %=\sum_{k=1}^\infty {4(2k)\over \pi((2k)^2-1)}\sin(2kx)\ \ \overset{\color{blue}{n=2k}}{=}\ \ \sum_{k=1}^\infty {8k\over \pi(4k^2-1)}\sin(2kx), $$ que es $(1)$ .