Si $A \succeq B$ ¿es cierto que $B^{-1} \succeq A^{-1}$ ?

Question

Si $A$ y $B$ son dos matrices positivas definidas tales que $A - B$ es definida no negativa, ¿es cierto que $B^{-1} - A^{-1}$ es positiva definida?

La duda me surgió al trabajar con regiones de confianza en estadística multivariante que suelen obtenerse como hiperelipsoides.

Answer 1

Dejemos que $x \in \mathbb R^n$ , dejemos que $y = A^{-1/2}x$ . Como $0 < B \le A$ tenemos $$ \def\<#1>{\left<#1\right>} 0 < \<A^{-1/2}BA^{-1/2}x,x> = \<By, y> \le \<Ay,y> = \<x,x> $$ Es decir $0 < A^{-1/2}BA^{-1/2} \le {\rm Id}$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $A^{-1/2}BA^{-1/2}$ es similar a $BA^{-1}$ Así que $BA^{-1}$ tiene todos sus valores propios en $(0,1]$ . Por lo tanto, su inversa $AB^{-1}$ tiene todos sus valores propios en $[1,\infty)$ por lo que tiene la matriz similar $A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ como esta matriz es hermitiana, tenemos ${\rm Id} \le A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ . Esto da, argumentando como el primer paso anterior, $A^{-1} \le B^{-1}$ .