Encuentro de un paseo aleatorio simétrico y un paseo aleatorio sobre números enteros

Question

Dejemos que $\{X_n\}$ sea un paseo aleatorio simétrico sobre números enteros y $\{Y_n\}$ sea un paseo aleatorio sobre números enteros con probabilidades de transición: $$p(k,k+1)=p,~p(k,k-1)=q=1-p.$$ Supongamos que $\{X_n\}$ y $\{Y_n\}$ son independientes. Si $X_0=a>0,~Y_0=0$ evalúe la probabilidad de que $\{X_n\}$ y $\{Y_n\}$ jamás se conocerá.

Intento. Dejemos que $\{(X_n,Y_n)\}$ sea el $2D$ paseo aleatorio por $\mathbb{Z}^2$ con probabilidades de transición: $$p\big((k,m),(k\pm 1,m+1)\big)=\frac{p}{2},~p\big((k,m),(k\pm 1,m-1)\big)=\frac{q}{2}.$$
Si $T=\inf\{n\geqslant 0: (X_n,Y_n)\in \Delta\}$ es el momento en que los dos paseos aleatorios se encuentran por primera vez y $$h(k,m)=P\big((X_n,Y_n)\in \Delta|(X_0,Y_0)=(k,m)\big)$$ entonces buscamos $h(a,0).$ Lo sabemos:

$$h(k,m)=\frac{p}{2}\,h(k+1,m+1)+\frac{p}{2}\,h(k-1,m+1) +\frac{1-p}{2}\,h(k+1,m-1)+\frac{1-p}{2}\,h(k-1,m-1)$$

y $h(m,m)=0$ para todos los enteros $m,~k$ . ¿Cómo podemos llegar a la solución de esta ecuación de recurrencia?

Answer 1

Siguiendo la pauta de @Rhys Steele, vamos a tomar la $1D$ paseo aleatorio $Z_n=\frac{X_n-Y_n}{2}$ definido por las semidiferencias de $X_n,\,Y_n$ con probabilidades de transición: $$p(k,k+1)=\frac{q}{2},p(k,k-1)=\frac{p}{2},p(k,k)=\frac{1}{2}.$$ En este modelo buscamos $P(T_0<+\infty|Z_0=a/2),$ donde $$T_0=\inf\{n\geqslant 0: Z_n=0\}$$ la primera vez $Z_n$ El éxito de $0$ En otras palabras, $X_n$ y $Y_n$ coinciden. Obviamente la probabilidad deseada es igual a $0$ , si $a$ es impar. Para el caso $a$ es par, se establece $h(k)=P(T_0<+\infty|Z_0=a)$ y $h$ es la solución menos negativa de la ecuación:

$$h(k)=\frac{q}{2}\,h(k+1)+\frac{1}{2}\,h(k)+ \frac{p}{2}\,h(k-1)$$ de manera equivalente: $$q\,h(k+1)-h(k)+p\,h(k-1)=0,$$

junto con $h(0)=0.$ La solución al problema anterior no es única, pero bajo la condición de que $h$ es la solución menos negativa obtenemos la fórmula: $$P_{a/2}(T_0<+\infty)=\left \{\begin {array}{ll} 1&~,0<p \leqslant 1/2\\ \displaystyle \left(\frac{p}{1-p}\right)^{\frac{a}{2}}&~,1/2<p<1\\ \end{array} \right..$$