Pregunta de permutación. $qpq^{-1}$ , $q,p,r,s \in S_{8}$ .

Question

Dejemos que $p,r,s,q \in S_{8}$ sea la permutación dada por los siguientes productos de ciclos: $$p=(1,4,3,8,2)(1,2)(1,5)$$ $$q=(1,2,3)(4,5,6,8)$$ $$r=(1,2,3,8,7,4,3)(5,6)$$ $$s=(1,3,4)(2,3,5,7)(1,8,4,6)$$

Calcula $qpq^{-1}$ y $r^{-2}sr^{2}.$

gracias por su ayuda.

Quiero escribir las siguientes permutaciones como :

$p=\begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\4&1&8&3&?&?&?&2\end{pmatrix}$

$q=\begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\2&3&1&5&6&8&7&4\end{pmatrix}$

$r=\begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\ 2&3&8&3&6&5&4&7\end{pmatrix}$

$s=\begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\ 3&?&4&1&?&?&?&?\end{pmatrix}$

me pueden ayudar por favor a llenar el $?$ marca. ¿Existe otro método para calcular $qpq^{-1}$ ?

gracias:)

Answer 1

Hay una forma rápida de calcular las dos permutaciones, y es utilizando este hecho:

Supongamos que $\tau, \sigma \in S_n$ y en notación de ciclo, $\sigma = (a_1, a_2, \cdots a_p) (b_1, b_2, \cdots, b_q) \cdots (z_1, z_2, \cdots, z_l)$ decir. Entonces $$ \tau \sigma \tau^{-1} = (\tau(a_1), \tau(a_2), \cdots \tau(a_p)) (\tau(b_1), \tau(b_2), \cdots, \tau(b_q)) \cdots (\tau(z_1), \tau(z_2), \cdots, \tau(z_l))$$

Es decir, conjugar por $\tau$ , sustituye los elementos en los ciclos de $\sigma$ por sus imágenes bajo $\tau.$ Ejercicio: Prueba esto.

Answer 2

Asumo la asociatividad de derecha a izquierda, como suele ser el caso. Tenga en cuenta que $$(\alpha \beta)^{-1} = {\beta}^{-1} {\alpha}^{-1}, \text{ and}$$ $$ (a_1 a_2 \dots a_n)^{-1} = (a_1 a_n \dots a_2).$$ Estos son hechos estándar, y se pueden demostrar fácilmente si se quiere. Por lo tanto, $$qpq^{-1} = (1 2 3)(4 5 6 8)(1 4 3 8 2)(1 2)(1 5)(4 8 6 5)(1 3 2).$$ No conozco ninguna manera inteligente de hacerlo, y escribo los cambios de un ciclo a la vez, de derecha a izquierda. Por ejemplo, después del primer paso, $(1 3 2)$ lo consigues: $$\begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\ 2&3&1&4&5&6&7&8\end{pmatrix}.$$ Después del siguiente paso, $(4 8 6 5)$ lo consigues: $$\begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\ 2&3&1&5&6&8&7&4\end{pmatrix}.$$ Si sigues con los ciclos restantes, obtienes $$qpq^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\ 5&6&4&3&2&8&7&1\end{pmatrix},$$ si no se me ha estropeado un escalón. Lees la permutación resultante, escrita como ciclos: $$qpq^{-1} = (15268)(34).$$ Usted calcula $r^{-2}sr^2$ de manera similar. Se trata de un trabajo de grindado en su mayor parte.

Editar : lo retiró temporalmente para corregir algunos errores tipográficos.

Edición 2 - escribir $p$ (por el comentario de abajo):

Se aplica el $3$ ciclos de $p = (14382)(12)(15)$ un paso a la vez. Aplicando $(15)$ primero, se obtiene $$\begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\ 5&2&3&4&1&6&7&8\end{pmatrix}.$$ Aplicando $(12)$ a continuación, obtenemos $$\begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\ 2&5&3&4&1&6&7&8\end{pmatrix}.$$ Finalmente aplicando el último ciclo $(14382)$ obtenemos $$p = \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\ 5&8&4&2&1&6&7&3\end{pmatrix}.$$

Answer 3

En realidad hay una forma más rápida de hacerlo. Como ejercicio, demuestra el siguiente lema:

Lema. Supongamos que $\alpha$ es una permutación arbitraria y $\beta$ es un $n$ -ciclo, escrito $\beta=(\beta_1\hspace{5pt} \beta_2 \hspace{5pt}\ldots \hspace{5pt}\beta_n)$ . Entonces $$\alpha^{-1}\beta \alpha=(\alpha(\beta_1)\hspace{5pt}\alpha(\beta_2)\hspace{5pt}\ldots \hspace{5pt}\alpha(\beta_n)).$$ En otras palabras, $\alpha^{-1}\beta\alpha$ es el $n$ -ciclo con $\alpha$ aplicada a sus letras.

Dado que cualquier permutación puede descomponerse en el producto de ciclos disjuntos, digamos $\gamma=a_1a_2\ldots a_k$ donde $a_i$ son ciclos disjuntos, podemos escribir $$\alpha^{-1}\gamma\alpha=\alpha^{-1}a_1a_2\ldots a_k\alpha=(\alpha^{-1}a_1\alpha)(\alpha^{-1}a_2\alpha)(\alpha^{-1}\ldots \alpha )(\alpha^{-1}a_k\alpha)$$ por lo que por inducción el lema muestra que $\alpha^{-1}\gamma\alpha$ es la permutación con la misma estructura de ciclo que $\gamma$ con $\alpha$ aplicado a las letras de cada uno de sus ciclos disjuntos.

Ahora, $p$ en ciclos disjuntos es simplemente $p=(1,4,3,8,5)$ y $s$ en ciclos disjuntos es simplemente $s=(1,5,7,2,3,6)(4,8)$ .

Por lo tanto, aplicamos $q$ a las letras en $p$ y obtener $q^{-1}pq=(1,4,6,2,5)$ entonces $r^2$ a las letras de cada ciclo disjunto de $s$ y obtener $r^{-2}sr^2=(1,8,7,6,3,5)(2,4)$ .

Te dejo que vuelvas a poner esto en notación de permutación (lo cual es fácil, ya que los ciclos son disjuntos)

Answer 4

Si escribes bien entonces $$ p= \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\4&1&8&3&5&6&7&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\2&1&3&4&5&6&7&8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\5&2&3&4&1&6&7&8 \end{pmatrix} $$ y así sucesivamente (lo siento, escribo mal la fórmula). Así que primero hay que calcular $p,q,r,s$ .

Answer 5

Wolfram Alpha está componiendo la permutación de izquierda a derecha en lugar de derecha a izquierda. Puedes hacer estas composiciones de permutaciones de la siguiente manera- Usando $(14382)(12)(15)$ y, de izquierda a derecha, la primera fila de abajo dice $1$ va a $4$ en el primer ciclo. Como no hay $4$ en el segundo ciclo escriba $4$ va a $4$ y no $4$ en el tercer ciclo escriba $4$ va a $5$ . Esto resume a $1$ va a $4$ al final. Repita esto para $2$ a través de $8$ entonces escribe la multiplicación basada en las dos últimas columnas.

$$1\to 4\ 4\to4\ 4\to4\ 1\to 4$$ $$2\to 1\ 1\to2\ 2\to2\ 2\to 2$$ $$3\to 8\ 8\to8\ 8\to8\ 3\to 8$$ $$4\to 3\ 3\to3\ 3\to3\ 4\to 3$$ $$5\to 5\ 5\to5\ 5\to1\ 5\to 1$$ $$6\to 6\ 6\to6\ 6\to6\ 6\to 6$$ $$7\to 7\ 7\to7\ 7\to7\ 7\to 7$$ $$8\to 2\ 2\to1\ 1\to5\ 8\to 5$$

Resumiendo las dos últimas columnas tenemos $(14385)$ en notación de ciclo. Esto también se puede escribir como p= \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\4&2&8&3&1&6&7&5\end{pmatrix}

En palabras $1$ va a $4$ ; $4$ va a $3$ ; $3$ va a $8$ ; $8$ va a $5$ y $5$ vuelve a $1$ . $2$ , $6$ y $7$ son fijos.

Si se componen las mismas permutaciones de derecha a izquierda se obtiene

$$1\to 5\ 5\to5\ 5\to5\ 1\to 5$$ $$2\to 2\ 2\to1\ 1\to4\ 2\to 4$$ $$3\to 3\ 3\to3\ 3\to8\ 3\to 8$$ $$4\to 4\ 4\to4\ 4\to3\ 4\to 3$$ $$5\to 1\ 1\to2\ 2\to1\ 5\to 1$$ $$6\to 6\ 6\to6\ 6\to6\ 6\to 6$$ $$7\to 7\ 7\to7\ 7\to7\ 7\to 7$$ $$8\to 8\ 8\to8\ 8\to2\ 8\to 2$$

Resumiendo las dos últimas columnas tenemos $(15)(2438)$ en notación de ciclo. Esto también se puede escribir como p= \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\5&4&8&3&1&6&7&2\end{pmatrix}

En palabras $1$ va a $5$ ; $5$ va a volver a $1$ ; $2$ va a $4$ ; $4$ va a $3$ y $3$ va a $8$ y $8$ vuelve a $2$ . $6$ y $7$ son fijos. Siempre pensé que las permutaciones se suponían compuestas de derecha a izquierda pero lo he visto de ambas maneras lo que lo hace confuso.

Ahora vamos a rellenar los espacios en blanco para $s= (134)(2357)(1846)$ yendo de izquierda a derecha y llegando a los mismos ciclos disjuntos que Alexander Gruber en su respuesta.

$$1\to 3\ 3\to5\ 5\to5\ 1\to 5$$ $$2\to 2\ 2\to3\ 3\to3\ 2\to 3$$ $$3\to 4\ 4\to4\ 4\to6\ 3\to 6$$ $$4\to 1\ 1\to1\ 1\to8\ 4\to 8$$ $$5\to 5\ 5\to7\ 7\to7\ 5\to 7$$ $$6\to 6\ 6\to6\ 6\to1\ 6\to 1$$ $$7\to 7\ 7\to2\ 2\to2\ 7\to 2$$ $$8\to 8\ 8\to8\ 8\to4\ 8\to 4$$

Resumiendo las dos últimas columnas tenemos $(157236)(48)$ en notación de ciclo. Esto también se puede escribir como s= \begin{pmatrix} 1 & 2&3&4&5&6&7&8\\5&3&6&8&7&1&2&4\end{pmatrix}

En palabras $1$ va a $5$ ; $5$ va a $7$ ; $7$ va a $2$ ; $2$ va a $3$ ; $3$ va a $6$ y $6$ va a $1$ que completa el ciclo. A continuación, $4$ va a $8$ y $8$ va a $4$ que completa ese ciclo.