Derivada de Fréchet de funciones que dependen de la derivada

Question

Dejemos que $\Omega:=[x_a,x_b]\times[t_a,t_b]\subset \mathbb{R}^2$ y considerar el funcional $D:C^2\left(\Omega,\mathbb{R}\right)\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$D[y]= \iint_{\Omega}d(x,t,y) \, dx \, dt$$ donde $$d(x,t,y)= (1+y(x,t))^p\int_{x_a}^{x} \dfrac{dy(z,t)}{dt}\,dz$$ donde $p\in\mathbb{N}$ .

¿Es dicha función diferenciable por Fréchet en cualquier punto $y_0 \in C^2\left(\Omega,\mathbb{R}\right)$ ? ¿Y cómo calculamos su derivada?

En particular, no estoy seguro de cómo debe tratarse la derivada en el integrando. Al aplicar la definición de límite, ¿debo considerar algo como $$D[y_0+\eta]= \iint_\Omega\left[(1+y_0(x,t)+\eta(x,t))^p\int_{x_a}^{x} \left(\dfrac{dy_0(z,t)}{dt}+\dfrac{d\eta(z,t)}{dt}\right)dz\right]\, dx\,dt \quad?$$

Answer 1

Toda tu notación parece errónea. Así que lo estoy arreglando.

Consideremos el espacio $\mathrm{X} = \mathscr{B}^1_{\mathbf{R}}(\mathrm{U} \times \mathrm{I})$ de valor real diferenciable acotado función con continuidad definida sobre el producto del conjunto abierto $\mathrm{U}$ de $\mathbf{R}^d$ y el intervalo compacto $\mathrm{I} = [a, b]$ de $\mathbf{R}.$ Dotación $\mathrm{X}$ con la estructura del espacio normado completo estableciendo $\|f\|_\mathrm{X} = \|f\| + \left\| \mathbf{D} f \right\|$ (la supra-norma y la norma del operador). (El hecho de que $\mathrm{X}$ es completa se deduce del teorema del valor medio).

Definir $\varphi:\mathrm{X} \to \mathrm{Y} = \mathscr{C}^b_\mathbf{R}(\mathrm{U}),$ el lado derecho es el espacio de funciones continuas y acotadas con la norma sup, por $$\varphi(f) = u_f, \quad u_f(x) = (1 + f(x))^p \int\limits_a^b \mathbf{D}_2f(x, t)\ dt.$$

Ahora, $$\begin{align*} u_{f + h}(x) &= (1 + f(x)+ h(x))^p \int\limits_a^b (\mathbf{D}_2f(x, t) + \mathbf{D}_2h(x, t))\ dt \\ &= \big[(1 + f(x))^p + p(1 + f(x))^{p-1} h(x) + o(1+f(x); h(x))\big]\\ &\times \int\limits_a^b (\mathbf{D}_2f(x, t) + \mathbf{D}_2h(x, t))\ dt \\ &= u_f(x)+p(1+f(x))^{p-1} h(x)\int\limits_a^b \mathbf{D}_2f(x, t)\ dt + (1 + f(x))^p \int\limits_a^b \mathbf{D}_2h(x, t)\ dt \\ &+ o(1+f(x); h(x))\int\limits_a^b (\mathbf{D}_2f(x, t) + \mathbf{D}_2h(x, t))\ dt, \\\\ \end{align*}$$ donde $o(a; s)$ es una suma de potencias de $s^\alpha,$ donde $\alpha$ va desde 2 hasta p, y los coeficientes son potencias de $a$ también. Porque $f$ está acotado, existe una constante $c = c(f)$ tal que $$\|o(1 + f; h)\| \leq c(\|h\|^2+\ldots+\|h\|^p) = o(\|h\|).$$ Es fácil comprobar que la función $L_f:h \mapsto L_f(h)$ según la regla $$x\mapsto p(1+f(x))^{p-1} h(x)\int\limits_a^b \mathbf{D}_2f(x, t)\ dt + (1 + f(x))^p \int\limits_a^b \mathbf{D}_2h(x, t)\ dt$$ pertenece a $\mathrm{Y}$ (es decir, $L_f:\mathrm{X} \to \mathrm{Y}$ ) y es lineal. La derivada deseada de $\varphi$ es por lo tanto $\mathbf{D}\varphi(f) = L_f.$ Q.E.D.