Cómo encontrar $\lim_{x\to1}\left(\tan\frac{\pi x}{4}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2}}$ ?

Question

Encuentre $$\lim_{x\to1}\left(\tan\frac{\pi x}{4}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2}}$$

---

Mi intento: Sobre la base de Este puesto $$\lim_{x\to1}\tan\frac{\pi x}{4} =1,\quad \lim_{x\to1}\tan\frac{\pi x}{2}=\infty$$

$$\implies\lim_{x\to1}\left(\tan\frac{\pi x}{4}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2}}= e^{\lim_{x\to1}\left[\tan\frac{\pi x}{4}-1\right]\tan\frac{\pi x}{2}}$$

Ahora tengo que resolver $\lim_{x\to1}\left[\tan\frac{\pi x}{4}-1\right]\tan\frac{\pi x}{2}$ pero no sé cómo seguir.

Answer 1

$$\lim_{x\rightarrow1}\left(\tan\frac{\pi x}{4}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2}} = \lim_{x \to 1}e^ {{\tan\frac{\pi x}{2}}\ln(\tan\frac{\pi x}{4})}$$ Ahora comprobaremos $$\begin{align*} \lim_{x \to 1} {{\tan\frac{\pi x}{2}}\ln\left(\tan\frac{\pi x}{4}\right)} &\stackrel{\text{(L'Hôpital's rule)}}{=} \lim_{x \to 1} \frac{-\frac{\pi}{4}\tan^2(\frac{x\pi}{2})\cos^2(\frac{x\pi}{2})}{\cos^2(\frac{x\pi}{4})\tan(\frac{x\pi}{4})} \\&= \frac{\frac{-1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1 \ \end{align*}$$

y por lo tanto: $\lim_{x \to 1} e^{{{\tan\frac{\pi x}{2}}\ln(\tan\frac{\pi x}{4})}} = e^{-1}$

Answer 2

$$\lim_{x\rightarrow1}\left(\tan\frac{\pi x}{4}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2}}=\lim_{x\rightarrow1}\left(1+\tan\frac{\pi x}{4}-1\right)^{\frac{1}{\tan\frac{\pi x}{4}-1}\cdot\tan\frac{\pi x}{2}\left(\tan\frac{\pi x}{4}-1\right)}=$$ $$=e^{-\lim\limits_{x\rightarrow}\frac{2\tan\frac{\pi x}{4}}{1+\tan\frac{\pi x}{4}}}=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$ Utilicé $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=-\frac{2\tan\alpha}{(\tan\alpha-1)(1+\tan\alpha)}.$

Answer 3

Dejemos que $\tan\dfrac\pi4+1=u$ y utilizando $\tan2A=\dfrac{2\tan A}{1-\tan^2A}$

$$\lim_{x\to1}\left(\tan\frac{\pi x}{4}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2}}$$

$$=\lim_{u\to0}(1+u)^{\frac{2(u-1)}{1-(u-1)^2}}$$

$$=\left(\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}\right)^{\lim_{u\to0}\frac{2u(u-1)}{2u-u^2}}$$

Claramente, $\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e$ y $$\lim_{u\to0}\frac{2u(u-1)}{2u-u^2}=\lim_{u\to0}\frac{2(u-1)}{2-u}=?$$

Answer 4

Con su fórmula ya ha cubierto la parte difícil. Para seguir avanzando sólo hay que poner $t=\tan (\pi x/4)$ para que $\tan(\pi x/2)=2t/(1-t^{2})$ . El límite al final de su pregunta es $$\lim_{t\to 1}(t-1)\cdot\dfrac{2t}{1-t^{2}}=\lim_{t\to 1}-\frac{2t}{1+t}=-1$$ y la respuesta deseada es $e^{-1}=1/e$ .

---

Por cierto, "no pensar en la lógica..." y "resolver la mayor cantidad de problemas..." no es la forma de vencer a la competencia porque casi todo el mundo intenta estos enfoques fáciles. Hay que apostar por "entender lo básico" y esta es la habilidad que separa el trigo de la paja en este tipo de competiciones.