Manipulación incorrecta de los límites

Question

Aquí está mi manipulación de un límite particular:

$\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[\frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h}\Big]$

Utilizando las propiedades de los límites:

$\displaystyle \begin{align*} &=\frac{\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)\Big]}{\lim\limits_{h\rightarrow 0}h}\\ &=\frac{\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[f(x+h)g(x)\Big] - \lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[f(x)g(x+h)\Big]}{\lim\limits_{h\rightarrow 0}h}\\ &=\frac{\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[f(x+h)\Big]\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[g(x)\Big] - \lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[f(x)\Big]\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[g(x+h)\Big]}{\lim\limits_{h\rightarrow 0}h}\\ &=\frac{f(x)\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[g(x)\Big] - f(x)\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[g(x+h)\Big]}{\lim\limits_{h\rightarrow 0}h}\\ &=\frac{f(x)\Big(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[g(x)\Big] - \lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[g(x+h)\Big]\Big)}{\lim\limits_{h\rightarrow 0}h}\\ &=\frac{f(x)\Big(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big[g(x) - g(x+h)\Big]\Big)}{\lim\limits_{h\rightarrow 0}h}\\ &=f(x)\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Big(\frac{g(x) - g(x+h)}{h}\Big)\\ &=-f(x)g'(x)\end{align*}$

Estoy bastante seguro de que mi resultado final es incorrecto, ya que he utilizado funciones arbitrarias para $f(x)$ y $g(x)$ y no apoyó mi conclusión. Creo que el factor de $f(x)$ podría ser lo que es incorrecto en mi manipulación, pero no estoy 100% seguro. ¿Podría alguien explicarme qué he hecho mal y por qué es incorrecto? ¿Cuál de los "axiomas" del límite he utilizado incorrectamente? Gracias.

Answer 1

La propiedad del cociente del límite dice que si $\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ y $\lim\limits_{x\to a}g(x)=M\neq 0$ entonces $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} = \frac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)}.$$ Pero esto requiere $M\neq 0$ .

En su primera igualdad, intenta usar esto cuando $M=0$ (ya que $\lim\limits_{h\to 0}h = 0$ ). Esto es pas un uso válido de las leyes límite/propiedades de los límites.

Answer 2

Las respuestas ya publicadas responden plenamente a su pregunta. Así que lo que sigue es pas una respuesta a su pregunta, pero puede ser útil.

Supongamos que $f$ y $g$ son diferenciables en $x$ . Tenga en cuenta que $$f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)= f(x+h)g(x)+(f(x)g(x)-f(x)g(x))-f(x)g(x+h).$$ Hemos añadido $0$ en el centro, que es inofensivo. Un truco que se parece mucho fue sin duda utilizado en su libro o notas para probar la regla del producto para la diferenciación.

Reordenando un poco, y con algo de álgebra, encontramos que $$f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)=(f(x+h)-f(x))g(x)-f(x)(g(x+h) -g(x)),$$ y por lo tanto $$\frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h}=\frac{(f(x+h)-f(x))g(x)}{h}-\frac{f(x)(g(x+h) -g(x))}{h}.$$

El resto depende de ti.

Cosas añadidas, para la intuición : El siguiente cálculo es demasiado informal, pero le dirá más sobre lo que realmente sucede que el misterioso truco.

Cuando $h$ está cerca de $0$ , $$f(x+h) \approx f(x)+hf'(x)$$ con el error de aproximación que va a $0$ más rápido que $h$ . De la misma manera, $$g(x+h) \approx g(x)+hg'(x).$$ Sustituye estas aproximaciones en la parte superior. Simplifica. ¡Ocurre algo muy bonito!

Answer 3

Sugerencia para resolver su problema: Deja que $$ \varphi (h) = \frac{{f(x + h)g(x) - f(x)g(x + h)}}{h}. $$ Entonces $$ \varphi (h) = \frac{{[f(x + h) - f(x) + f(x)]g(x) - f(x)[g(x + h) - g(x) + g(x)]}}{h}. $$ De esto se deduce directamente que $$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \varphi (h) = g(x)f'(x) - f(x)g'(x). $$ Daré más pistas si lo necesitas.

Answer 4

No he mirado muy a fondo todos los usos de las leyes límite, pero la primera que me llamó la atención fue la ley límite para los productos. Suele aparecer en los libros de texto de cálculo de la siguiente forma: Si $\lim_{x\to a}f(x)$ y $\lim_{x\to a}g(x)$ ambos existen entonces $\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\lim_{x\to a}g(x)$ .

Se viola esto cuando se rompe $\lim_{h\to 0}$ con la división, porque esencialmente estás diciendo $\lim_{h\to 0}[f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)](1/h)= \lim_{h\to 0}[f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)]\lim_{h\to 0}(1/h)$ y ese segundo límite no existe.

Es muy fácil pasar por alto que para que los límites existan todos hay que aplicar las leyes límite. Es como cuando se hacen manipulaciones algebraicas se puede pasar por alto fácilmente la división por 0.