La regularidad del proceso Levy

Question

Existe una propiedad para los procesos de Markov continuos que consiste en que cada punto $y$ en su espacio de estados es alcanzado con probabilidad positiva uno partiendo de cualquier punto interior $x$ .

Esta propiedad se denomina regularidad del proceso de Markov continuo. Por ejemplo, $X_{t}$ es el movimiento browniano unidimensional. El espacio de estados es $(-\infty, +\infty)$ . Encontré este concepto en el artículo: on increasing continuous Markov processes de E.CINLAR. Tal vez hay otro nombre de libro de texto estándar.

Mi pregunta es la siguiente. Supongamos que $X_{t}$ es un proceso Levy que no es un proceso de salto puro. Esto significa que $\sigma\neq 0$ en su triplete generador $(\sigma, \gamma, \nu）$ . Es $X_{t}$ ¿regular?

Cualquier referencia es muy apreciada.

Answer 1

Un contraejemplo es dejar que $X_t$ sea un movimiento browniano con deriva. Comienza en cualquier punto $x$ y supongamos que la deriva es negativa. Sea $N_y$ sea el evento que $y$ nunca es golpeado, es decir, $N_y=\{(\forall t)\, X_t < y\}$ . Con probabilidad uno habrá algún valor positivo que no sea alcanzado; véase por ejemplo esta pregunta . Así que $$\mathbb P (\cup_{y\in\mathbb N}\, N_y) = 1.$$ Por lo tanto, $$\exists y\in\mathbb N\qquad \mathbb P(N_y)>0,$$ y tal $y$ es un contraejemplo de la regularidad.