Residuo de polo de orden muy alto

Question

Estoy calculando una integral de contorno que encierra una región donde hay un solo polo en $z=0$ . La función tiene el siguiente aspecto: $$\frac{\left(z^{2}+1\right)^{2020}}{z^{2021}}$$ Ahora quiero calcular el residuo y he probado lo siguiente $$\begin{array}{l} \operatorname{Res}\left(\mathrm{z}_{0}\right)=\lim _{z \rightarrow z_{0}}\left[\frac{1}{(m-1) !} \frac{d^{m-1}}{d z^{m-1}}\left(z-z_{0}\right)^{m} f(z)\right] \\ =\lim _{z \rightarrow 0}\left[\frac{1}{2020 !} \frac{d^{2020}}{d z^{2020}}(z-0)^{2021} \frac{\left(z^{2}+1\right)^{2020}}{z^{2021}}\right]=\lim _{z \rightarrow 0}\left[\frac{1}{2020 !} \frac{d^{2020}}{d z^{2020}}\left(z^{2}+1\right)^{2020}\right] \end{array}$$ Pero aquí estoy atascado. Creo que los cálculos hasta ahora parecen correctos, pero no sé cómo evaluar la derivada dada. He intentado hacer una expansión binomial de $(z^2+1)^{2020}$ pero eso no ayudó. ¿Puede alguien ver lo que estoy haciendo mal?

Answer 1

Sólo se necesita el coeficiente de $\;z^{-1}\;$ sur $\;\cfrac{(z^2+1)^{2020}}{z^{2021}}\;$ que no es más que el coeficiente de $\;z^{2020}\;$ en el numerador, y por tanto

$$(z^2+1)^{2020}=\sum_{k=0}^{2020}\binom{2020}kz^{2k}$$

Por lo tanto, hay que averiguar cuál es el coeficiente cuando $\;z^{2k}=z^{2020}\iff k=1010\implies\ldots\;$ Justificar todo esto y acabar con la solución.

Answer 2

Si quieres usar esa fórmula, entonces puedes simplificar la derivada, denotando $f_{n} : z\mapsto\left(1+z^{2}\right)^{2n}$ , $g_{n}:z\mapsto \left(z-\mathrm{i}\right)^{2n}$ y $h_{n}:z\mapsto \left(z+\mathrm{i}\right)^{2n}$ tenemos : $$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^{2n}f_{n}}{\mathrm{d}z^{2n}}\left(z\right)&=\sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}g_{n}^{\left(k\right)}\left(z\right)h_{n}^{\left(2n-k\right)}\left(z\right)}\\ \frac{\mathrm{d}^{2n}f_{n}}{\mathrm{d}z^{2n}}\left(z\right)&=\left(2n\right)!\sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}^{2}\left(z-\mathrm{i}\right)^{2n-k}\left(z+\mathrm{i}\right)^{k}} \end{aligned}$$

Así, $$\lim_{z\to 0}{\frac{1}{\left(2n\right)!}\frac{\mathrm{d}^{2n}f_{n}}{\mathrm{d}z^{2n}}\left(z\right)}=\left(-\mathrm{i}\right)^{2n}\sum_{k=0}^{2n}{\left(-1\right)^{k}\binom{2n}{k}^{2}}=\binom{2n}{n}$$

Tomando $n=1010$ da el resultado.