Calcular $E(X^{2n})$ donde $X$ es normal (0,1)

Question

Necesito ayuda para probar lo siguiente:

Dejemos que $X$ se distribuya normalmente con parámetros $\sigma=0$ y $\mu=1$ . Sea $n$ sea un número entero positivo. Demostrar que:

$$E(X^{2n})=\frac{(2n)!}{2^nn!}=:(2n-1)!!$$

He probado el cambio de variables $Y=X^2$ y luego calcular la integral, pero no llegó a ninguna parte. ¿Alguna pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

$$\int_{-\infty}^{\infty}x^{2n}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx=2\int_{0}^{\infty}x^{2n}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx=-2\int_{0}^{\infty} x^{2n-1}de^{-\frac{1}{2}x^{2}}=$$$$ 2\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx^{2n-1}-2\left[x^{2n-1}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}\right]_{0}^{\infty}=2\left(2n-1\right)\int_{0}^{\infty}x^{2n-2}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx$$

Answer 2

Sugerencia :

Haz una prueba por inducción utilizando la integración por partes mediante la escritura:

$x^{2n+2} \exp(-\frac{x^2}{2}) = (-x^{2n+1})(-x\exp(-\frac{x^2}{2}))$

Answer 3

Se puede demostrar esto por inducción en $n$ a partir de $n=0$ . Sugerencia: Si $N\ge0$ entonces la integración por partes muestra que $$\int_{-\infty}^\infty t^Ne^{-t^2/2}\,dt=\frac 1{N+1}\int_{-\infty}^\infty t^{N+2}e^{-t^2/2}\,dt.$$

Ahora que lo has hecho, deberías obtener una fórmula similar para $\Bbb E[|X|^{2n+1}]$ .