Cono positivo de operadores: si dos autoadjuntos $a$ , $b$ obedecer $a^2 + b^2 =1$ ¿Deben desplazarse?

Question

La cuestión está relacionada con la estructura del cono positivo de los operadores, en el álgebra C*.

1. Si $a$ y $b$ son autoadjuntos tales que $a^2 + b^2 = 1$ se puede probar $a$ y $b$ ¿Ir al trabajo? Lo que se deriva es $ ba = ba^3 + b^3a $ y $ ab = a^3b + ab^3 $ pero estoy atrapado aquí, sólo los poderes superiores parecen conmutar.

2. Además, si para los autoconjuntos $a$ y $e$ , $a^2 + e^2 = e$ ¿se puede demostrar que $e$ es en realidad un cuadrado de un autoadjunto?

3. Por último, es $1-e$ ¿realmente un cuadrado de un autoadjunto?

Sabemos que $e$ es el cuadrado de un autoadjunto por lo que, según los libros de texto, es positivo pero no encuentro una prueba algebraica completa de este hecho: una suma de cuadrados es un cuadrado.

Answer 1

OP escribió (v2):

1) Si $a$ y $b$ son autoadjuntos tales que $a^2 + b^2 = 1$ se puede demostrar que $a$ y $b$ ¿Ir al trabajo?

No, es fácil dar contraejemplos bidimensionales, por ejemplo

$$ a~=~\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\quad\text{and}\quad b~=~\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}.$$

O incluso más simple: Toma $a$ y $b$ para ser $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por dos de las tres matrices de Pauli, como sugiere Trimok en un comentario.

2) Además, si para los autoconjuntos $a$ y $e$ , $a^2 + e^2 = e$ ¿se puede demostrar que $e$ es en realidad un cuadrado de un autoadjunto?

Sí, el LHS es un elemento semipositivo, por lo que el RHS $e$ es un elemento semipositivo. Aquí utilizamos varias caracterizaciones de elementos semipositivos :

$$a \text{ semipositive element} $$ $$\Updownarrow$$ $$ a \text{ selfadjoint with non-negative eigenvalues}$$ $$\Updownarrow$$ $$\exists b: a=b^{\dagger}b$$ $$\Updownarrow$$ $$\exists b\text{ selfadjoint}: a=b^2$$

3) Y es $1-e$ ¿realmente un cuadrado de un autoadjunto?

Sí, reescribe la ecuación como $a^2 = e-e^2$ . El LHS es un elemento semipositivo, por lo que el RHS $e-e^2$ también es un elemento semipositivo. Por lo tanto, los valores propios $\lambda$ de $e$ debe obedecer $\lambda-\lambda^2\geq 0$ . En otras palabras, $0\leq \lambda\leq 1$ . Por lo tanto, $1-e$ es un elemento semipositivo también.