¿Por qué es necesaria la propiedad de distributividad en un anillo?

Question

La distributividad está relacionada de alguna manera con el conteo: $a\times 1 + a\times 1 = a\times (1+1) = a\times 2$ . Esto excluye que los conjuntos de funciones no numéricas formen un anillo, ya que si $(S,\circ)$ es un grupo con $S$ un conjunto de funciones no numéricas, $f\in S$ ; denotemos por $\square$ lo que sería una "multiplicación", $f\circ f\circ f= 3\square f$ pero $\square$ no es un operador interno porque $3\not\in S$ . Así que parece que la distributividad está relacionada con el conteo, y eso excluye a muchos conjuntos de formar un anillo.

Un anillo podría haber sido definido como un $(R,\clubsuit,\diamondsuit)$ tal que $(R,\clubsuit)$ es un grupo y $(R,\diamondsuit)$ es un monoide, en cuyo caso $\clubsuit$ y $\diamondsuit$ podría ser independiente y $R$ puede ser un conjunto de funciones.

Entonces, ¿es correcta la relación entre distributividad y recuento, y por qué se elige? Nota: rschwieb ya dio una razón muy razonable.

Answer 1

Sin una relación entre las dos operaciones, es muy fácil atascarse con una expresión complicada como, por ejemplo,

$a(b+c(d+f(g+h(i+j))))$

Con la ley de la distributividad en funcionamiento, al menos puedes poner cualquier expresión de este tipo en una suma de productos.

Podríamos preguntarnos "¿por qué necesitamos la asociatividad para los anillos?". Sin asociatividad, el número de formas de multiplicar elementos explota rápidamente: $(ab)(cd), a(b(cd)), a((bc)d)$ son sólo algunos de los posibles valores diferentes de un producto de cuatro elementos. Estudiar una estructura de este tipo es un montón Es más difícil debido a esta complicación, e incluso las almas intrépidas que estudian los anillos no asociativos suelen trabajar con las limitaciones de un sustituto natural (como la identidad de Jacobi, o algo aún más débil).

En ambos casos, se puede ver que la imposición de una condición adicional como ésta mantiene los objetos de interés en un rango viable.

Si te interesa ver un caso en el que se abandona parcialmente la distributividad, echa un vistazo a los casi-anillos.