Al analizar los datos de un experimento, ¿es cada $x_i$ ¿una variable aleatoria?

Question

Cuando realizamos un experimento tenemos que medir varias magnitudes y tomar un cierto número de medidas para cada una de ellas. Esas cantidades pueden ser cosas como posiciones, instantes de tiempo, etc.

La cuestión es que normalmente acabamos con una lista de medidas $x_1,\dots,x_n$ , siendo $n$ el número de mediciones que realizamos.

Lo importante es: cada $x_i$ corresponde en realidad a la lo mismo que se está midiendo. Lo que ocurre es que medimos lo mismo varias veces y anotamos los valores.

Una vez que tenemos esta lista de mediciones, tomamos las medias, calculamos las desviaciones estándar, etc.

Ahora, cuando pregunté esta pregunta en la respuesta se dijo que cuando hacemos las mediciones, cada $x_i$ es una variable aleatoria y la media es en realidad otra variable aleatoria.

No lo entendí. La verdad es que mi comprensión de las variables aleatorias es bastante limitada (todo lo que recuerdo de lo que estudié una vez sobre el tema es que las variables aleatorias son funciones definidas en un espacio de probabilidad).

Ahora bien, siempre he pensado que en un experimento había en realidad una sola variable aleatoria $x$ que es una variable aleatoria discreta con valores posibles $x_i$ siendo los valores que medimos.

Pero ahora veo que estaba equivocado todo el tiempo y cada $x_i$ es una variable aleatoria. Pero aún así, $x_i$ es un valor medido, por lo que debe ser un número.

Estoy bastante confundido con todo esto. Lo que quiero saber es: por qué en un experimento, cuando medimos $x_1,\dots,x_n$ valores de la misma cantidad, cada uno $x_i$ es a su vez un varaible aleatorio ? ¿Cuál es la forma correcta de razonar sobre esto?

Answer 1

En probabilidad y estadística, una "variable aleatoria" es básicamente una cantidad que puede tomar diferentes valores. Es como cualquier otra variable en física: posición $\vec x$ , masa $m$ , momento angular $\vec{J}$ etc., salvo que en lugar de asignar un valor a la variable como se haría en un problema teórico, se obtiene el valor de una medición o de algún otro proceso aleatorio.

Los valores individuales son muestras no son variables por derecho propio.

Así que si $\{x_i\}$ (esto significa "el conjunto de $x_i$ para todos $i$ ") representa diferentes valores de la misma medida, entonces $x$ es la variable aleatoria, y cada $x_i$ es un valor de muestra, no una variable aleatoria en sí misma. Si alguien dice lo contrario, está equivocado, según las definiciones que he descrito.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que la gente suele ser descuidada con la terminología, y puede que otra persona no esté utilizando el término "variable aleatoria" de la misma manera que yo aquí.

Answer 2

¿por qué en un experimento, cuando medimos x1, ,xnx1, ,xn valores de la misma cantidad, cada xixi es en sí mismo un varaible al azar?

Cada vez que se mide algo, el resultado de la medición será la suma del valor real más algún término de error.

$$ x_i = x + \epsilon_i$$

Dependiendo de la naturaleza de la medida, podría ser un buen modelo que el $\epsilon_i$ son (muestras de a 1 ) con alguna distribución. Así, la suma del error con algún número fijo ( $x$ ) es también una variable aleatoria.

1 Gracias a DavidZ por señalar el matiz terminológico,

Answer 3

En teoría, si se toma un número muy, muy grande de lecturas, se obtendría lo que se llama una media poblacional.

La palabra "aleatoria" en este contexto significa que cuando tomas una lectura no sabes exactamente en qué lugar de la población de posibles lecturas está tu valor, es decir, no sabes lo cerca o lejos que está tu lectura de la media de la población.
Por lo tanto, todos los valores son posibles aunque los valores dentro de un determinado rango de valores pueden ser más probables que los valores dentro de otro rango; es más probable que se mida un valor que esté más cerca de la media de la población que uno que esté más lejos de la media de la población.
Una lectura individual es una variable aleatoria.

Ahora, en lugar de tomar una lectura, decides tomar 10 lecturas (la muestra) y hallar la media de esas diez lecturas, que se denomina media muestral.
Cada una de esas diez lecturas fue elegida al azar de la población y, por lo tanto, debe seguirse que la media de esas 10 lecturas elegidas al azar también debe ser aleatoria.
Sin embargo, es más probable encontrar una media muestral cercana a la media de la población que una más alejada de la misma.
La media muestral es una variable aleatoria.