Encuentre una prueba para $H_{0} : \sigma_{1}^{2} \ne \sigma_{2}^{2}$ , en contra de $H_{1} : \sigma_{1}^{2} =\sigma_{2}^{2}$

Question

Considere $X_{1}\dots X_{n} $ ~ $N(a_{1},\sigma_{1}^{2})$ y $Y_{1}\dots Y_{m} $ ~ $N(a_{2},\sigma_{2}^{2})$ y son independientes. Necesitamos encontrar un criterio para $H_{0}:: \sigma_{1}^{2} \ne \sigma_{2}^{2}$ .

En primer lugar, consideremos (si $H_{0}$ es verdadero) $\frac{\bar{X}\sqrt{n}}{a_{1}} - \frac{\bar{Y}\sqrt{m}}{a_{2}}$ distribuido como $N(0,\sigma^{2}\frac{a_{2}^2 +a_{1}^2}{a_{1}^2a_{2}^2})$ , entonces después de considerar de $\dfrac{\frac{\bar{X}\sqrt{n}}{a_{1}} - \frac{\bar{Y}\sqrt{m}}{a_{2}}}{\sigma\sqrt{\frac{a_1^2 +a_2^2}{a_1^2 a_2^2}}}$ . Ahora tenemos que estimar $\sigma$ como $S^{2}$ después de simplificar tenemos : $\dfrac{\bar{X}\sqrt{n}a_{2} - \bar{Y}\sqrt{m}a_{1}}{\sqrt{a_2^2+a_1^2}S} >t_{1-\alpha /2}$ es una prueba de Student.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Creo que estás probando la hipótesis $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ . Al menos su estadística de prueba parece sugerirlo. Eso sí, sólo soy un principiante en este campo, así que puede que tengas razón y yo esté equivocado. Además, sólo conozco el caso de la igualdad (normalmente el $H_0$ se basa en la igualdad, de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas). De todos modos, aquí va

Para las pruebas $H_{0} : \sigma_{1}^{2}= \sigma_{2}^{2}$ la estadística de prueba adecuada es

$$F_0 = \frac{S_1^2}{S_2^2}$$

donde la distribución de referencia de $F_0$ es el $F$ distribución con $n-1$ grados de libertad para el numerador y $m-1$ grados de libertad para el denominador. La hipótesis nula se rechazaría si $F_0 \gt F_{\alpha/2, n-1,m-1}$ o si $F_0 \lt F_{1-(\alpha/2), n-1,m-1}$

Puede leer más sobre esto en el libro Design of Experiments de Montgomery, capítulo 2, la sección final.