Estabilización temprana en los grupos de homotopía de esferas

Question

Gracias a Freudenthal sabemos que $\pi_{n+k}(S^n)$ es independiente de $n$ tan pronto como $n \ge k+2$ . Sin embargo, estaba mirando el tabla en Wikipedia de algunos de los grupos de homotopía de las esferas y observó que $\pi_2^S$ (el segundo tallo estable) y $\pi_6^S$ se alcanzan antes de lo requerido por el teorema de la suspensión. Así que mi pregunta es:

¿Qué se sabe sobre este fenómeno de estabilización temprana en los grupos de homotopía de esferas? ¿Ocurre un número finito de veces o un número infinito de veces? Además, ¿hay algún tipo de razón intuitiva por la que la estabilización pueda ocurrir temprano?

Además, detecté algunas veces en las que la estabilización casi aparecía, pero había una molesta copia de $\mathbb{Z}$ que apareció y luego desapareció justo antes de la gama estable. Me refiero a los casos de $\pi_{11+n}(S^n)$ , $\pi_{15+n}(S^n)$ y $\pi_{19+n}(S^n)$ . Supongo que esto tiene que ver con la aparición de elementos de Hopf en alguna parte.

No sé prácticamente nada sobre esto, excepto la teoría básica de la homotopía, unos cuantos cálculos muy pequeños y la construcción de Pontrjagin que relaciona todo esto con las variedades enmarcadas, así que cualquier referencia o idea esclarecedora sería de gran ayuda.

Answer 1

¡Buena pregunta! Es curioso, la respuesta es que ya has encontrado todo de los ejemplos de estabilización temprana (exceptuando, por supuesto, el hecho de que no mencionaste $\pi_n S^n$ estabilización temprana). Esto es cierto incluso si se ignora la torsión impar.

La "molesta copia de ℤ" está efectivamente relacionada con el invariante de Hopf. El hecho de que estas clases existan en el borde del rango estable se remonta al trabajo de Serre donde muestra exactamente qué grupos de homotopía de esferas contienen un sumando libre.

Sin embargo, de forma más general, la forma en que se puede ver lo que ocurre en el límite del rango estable es utilizar la secuencia EHP - véase, por ejemplo, http://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/mypapers/ehp.pdf . Para cualquier número entero $n > 0$ existe (2-localmente) una secuencia de fibras homotópicas $$ S^n \to \Omega S^{n+1} \to \Omega S^{2n+1} $$ y esto da lugar a una larga secuencia exacta de grupos de homotopía (después de la 2-localización) $$ \cdots \to \pi_{2n} S^n \mathop\to^E \pi_{2n+1} S^{n+1} \mathop\to^H \pi_{2n+1} S^{2n+1} \mathop\to^P \pi_{2n-1} S^n \mathop\to^E \pi_{2n} S^{n+1} \to 0. $$ Aquí los mapas etiquetados "E" son para la suspensión, los mapas etiquetados "H" son para el invariante de Hopf, y los mapas etiquetados "P" son para algo relacionado con un producto de Whitehead. Conocemos el término medio, así que podemos reescribirlo: $$ \cdots \to \pi_{2n} S^n \mathop\to^E \pi_{2n+1} S^{n+1} \mathop\to^H \mathbb{Z} \mathop\to^P \pi_{2n-1} S^n \mathop\to^E \pi_{2n} S^{n+1} \to 0. $$ El último mapa de la derecha es el "borde" del rango estable y por lo tanto tiene una estabilización temprana si y sólo si este mapa es un isomorfismo, o, equivalentemente, si el mapa "P" es cero. El mapa "P" es cero si y sólo si el mapa "H" es suryente.

Sin embargo, "H" en este caso es realmente el invariante clásico de Hopf: si se tiene un elemento $f:S^{2n+1} \to S^{n+1}$ visto como un mapa de fijación, el elemento $Hf$ detecta qué elemento de $H^{2n+2}$ es el cuadrado del generador de $H^{n+1}$ en el espacio $Cf$ obtenido mediante el uso de $f$ para adjuntar una célula. J.F. Adams demostró que la única vez $Hf$ puede tomar el valor 1 es si $n+1$ es 1, 2, 4 u 8. Así que el único momento en el que se podría tener una estabilidad temprana es cuando el tallo estable $n-1$ es -1, 0, 2, o 6. (EDIT: Tenía un error de indexación al final. Lo siento.)