No tengo una respuesta a la pregunta --- de nuevo, esto no es una respuesta. Es, sin embargo, una explicación de algunas convenciones de signos que aparecen en los espacios vectoriales de la DG. Mi tesis es que si entiendes bien los signos de los espacios vectoriales de la dg, entonces entiendes los signos del resto del álgebra homológica. (Pero esta tesis no se apoya en esta respuesta, y no pretendo aportar pruebas; no soy un algebrista homológico). Para volver a insistir, no tengo una referencia a la literatura matemática.
Hay una categoría muy buena de funtores de $\mathbb Z$ , pensada como una categoría con sólo morfismos de identidad, a $\text{Vect}$ (o $\text{AbGp}$ pero voy a fingir que estamos sobre un campo). El mapa de adición $+ : \mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Z$ conduce a un producto tensorial sobre $\operatorname{Functors}(\mathbb Z \to \text{Vect})$ por empuje hacia adelante. La categoría monoidal resultante es, en cierto sentido, "la categoría monoidal libre [...] sobre un objeto invertible", por lo que quizá merezca llamarse $\text{Vect}[X,X^{-1}]$ , donde $X$ es el functor $\mathbb Z \to \text{Vect}$ que asigna el espacio vectorial unidimensional $k$ a $1\in \mathbb Z$ y el espacio vectorial de dimensión cero $0$ a todos los demás términos. Así que para dar un trenzado sobre esta categoría basta con dar los datos de cómo trenzar $X$ pasado, es decir, los trenzados están parametrizados por $\operatorname{Aut}(X^{\otimes 2}) = k^\times$ . Las simetrías son precisamente los elementos cuadrados de $k^\times$ y, por lo tanto, si $k$ no es de la característica $2$ Hay dos de ellos, $\pm 1$ . La categoría monoidal simétrica $\text{GVect}$ de espacios vectoriales graduados es $\operatorname{Functors}(\mathbb Z \to \text{Vect})$ con $\otimes = $ empujar hacia adelante a lo largo de $+$ y con la simetría dada por la elección del trenzado $-1 \in \operatorname{Aut}(X^{\otimes 2})$ .
Una categoría lineal simétrica monoidal es un dato suficiente para hablar de los objetos del álgebra de Lie, y hay un objeto de este tipo distinguido en esta categoría. A saber, el objeto $X$ tiene una única estructura de álgebra de Lie, la abeliana. Sea $\mathfrak X$ denotan esta álgebra de Lie (el álgebra de Lie abeliana sobre $X$ ). La categoría monoidal simétrica $\text{DGVect}$ de espacios vectoriales dg es la categoría monoidal simétrica de módulos (en $\text{GVect}$ ) del álgebra de Lie $\mathfrak X$ .
Creo que este punto de vista explica bien cuáles son los signos correctos que hay que incluir cuando se elaboran productos tensoriales y homos internos de espacios vectoriales dg. En particular, si $A,B$ son espacios vectoriales dg, entonces $\mathfrak X$ actúa sobre $A\otimes B$ la forma en que un álgebra de Lie debe actuar sobre un producto tensorial. A saber, si $a\in A$ y $b\in B$ y escribir $x\in \mathfrak X$ para el elemento base de $\mathfrak X$ , entonces la acción $X \otimes A \otimes B \to A\otimes B$ viene dada por $$ x \cdot (a\otimes b) = (x\otimes 1 + 1 \otimes x)(a\otimes b) = (x\cdot a) \otimes b + \operatorname{flip}(x,a) \cdot b.$$ Aquí $\operatorname{flip}(x,a)$ es el elemento de $A\otimes X$ correspondiente a $x\otimes a$ bajo el trenzado. Cuando $a\in A$ es un elemento homogéneo de grado $|a|$ para el $\mathbb Z$ -clasificación, tenemos $\operatorname{flip}(x,a) = (-1)^{|a|}a\otimes x$ . A continuación, el " $\cdot b$ " denota la acción de $X$ en $B$ . (Por supuesto, la cuestión es que $x\in \mathfrak X$ implementa el diferencial). Así que este es el algoritmo para calcular los signos en los productos tensoriales de los espacios vectoriales dg.
Hay algunos objetos particulares distinguidos de $\text{DGVect}$ . En concreto, para cada $p\in \mathbb Z$ el objeto $X^{\otimes p}: \mathbb Z \to \text{Vect}$ es el functor que asigna $k$ a $p\in \mathbb Z$ y $0$ a todos los demás elementos. Así que $X^{\otimes p}$ es un objeto de $\text{GVect}$ pero en realidad tiene una estructura única como objeto de $\text{DGVect}$ (es decir, la estructura donde el álgebra de Lie $\mathfrak X$ actúa de forma trivial). Como objeto de una categoría monoidal, determina un endofunctor de $\text{DGVect}$ (que en su notación actúa "desde la derecha"), a saber, el functor $[p] = \otimes X^{p}$ .
Desde este punto de vista, su isomorfismo $(A[p]) \otimes (B[q]) \cong (A\otimes B)[p+q]$ está claro. Especificando, es el isomorfismo $$ A \otimes X^{\otimes p} \otimes B \otimes X^{\otimes q} \cong A \otimes B \otimes X^{\otimes(p+q)} $$ por lo que la única opción natural es utilizar el mapa de volteo $\operatorname{flip}: X^{\otimes p} \otimes B \to B \otimes X^{\otimes p}$ que tiene algunos signos dada la elección del trenzado. (En la parte homogénea de $B$ de grado $r$ actúa de la siguiente manera $(-1)^{pr}$ .) Me gusta escribir todos los funtores a la izquierda, pero observaré que en este caso tiene más sentido utilizar funtores de "desplazamiento" de la derecha, porque en mi convención $\mathfrak X$ (= el diferencial) actúa desde la izquierda, por lo que tiene menos signos si los desplazamientos actúan desde la derecha.
Es importante hacer una última observación. Fijar $p,q$ . Entonces hay isomorfismo $X^{\otimes p} \otimes X^{\otimes q} \cong X^{\otimes (p+q)} = X^{\otimes (q+p)} \cong X^{\otimes q} \otimes X^{\otimes p}$ . Pero esto es no el isomorfismo correcto a tomar. La elección correcta es el mapa de volteo, que carga un signo de $(-1)^{pq}$ para el intermedio " $=$ ". Recordar esto ayuda a clarificar los errores de señalización que pueden surgir cuando la gente trata de escribir con displicencia $A[p][q] = A[p+q] = A[q][p]$ .
Espero que esto explique las señales. Lo que no me importa es si el diferencial debe aumentar el grado por $1$ o disminuirlo (lo que corresponde en mis convenciones a si $\text{DGVect}$ es la categoría de $X$ -o de $X^{-1}$ -), y si los mapas de desplazamiento deben desplazarse en el grado especificado o en la otra dirección (tal vez su notación sea escribir $[p] = \otimes X^{\otimes (-p)}$ ). Si escribes los turnos a la derecha, simplemente te equivocas al definir $A[p] = X^{\otimes p} \otimes A$ aunque esa elección es isomorfa a otras mejores (por ejemplo, estaría muy justificado escribir funtores desde la izquierda y elegir $[p]A = X^{\otimes p}\otimes A$ aunque entonces hay que tener en cuenta que si $\mathfrak X$ también actúa desde la izquierda, entonces tendrá que pensar en señales para conseguir correctamente la acción $\mathfrak X \otimes [p]A \to [p]A$ ya que este mapa es realmente $\mathfrak X \otimes [p] \otimes A \overset{\text{flip}}\longrightarrow [p]\otimes \mathfrak X \otimes A \overset{\text{act}}\longrightarrow [p] \otimes A$ pero quizás quieras decir que el diferencial es un mapa $[1]A \to A$ , en cuyo caso en mis convenciones sí se quieren funtores de la izquierda). Lo único que es realmente equivocado es idear operaciones que actúen "desde el centro": toda la estructura natural es construible a partir de productos tensoriales y similares, hechos desde la izquierda y desde la derecha, y si se tiene en cuenta todo esto, los signos funcionan.
