Oscilación de una función

Question

Dejemos que $f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función. Para un subconjunto no vacío $T$ de $(a,b)$ , defina $\Omega(f,T)=\sup\{|f(x)-f(y)|\colon x,y\in T \}$ y la función de oscilación de $(a,b)$ a $\mathbb{R}$ por $x\mapsto \omega_f(x)=\inf\{ \Omega(f,T_x)\}\colon T_x\subseteq (a,b) \mbox{ and } x\in T_x\}$ . No pude resolver algunas preguntas sobre $\omega_f(x)$ .

1) En lugar de considerar todos los subconjuntos $T_x$ que contiene $x$ podemos considerar los conjuntos $B(x,r)\cap (a,b)$ , $r>0$ , para obtener la misma definición de función de oscilación $x\mapsto \omega_f(x)$ ? En otras palabras, $\inf\{ \Omega(f,T_x)\colon T_x\subseteq (a,b), x\in T_x\} \leq \inf \{\Omega(f,B(x,r)\cap (a,b))\colon r>0 \}$ está claro, pero no he podido demostrar la desigualdad inversa (si es que se mantiene).

2) Qué se puede decir de la función $x\mapsto \omega_f(x)$ ? (es decir, ¿es continua/ uniformemente continua/ Lipschitz continua/ diferenciable?)

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Notación: $B(x,r)=(x-r, x+r)$ .

Answer 1

Suponiendo que hayas definido correctamente "oscilación en un punto" (no he intentado corregir tus definiciones), la función de oscilación es semicontinua superior. Por lo tanto, puedes intentar buscar en Google "oscilación" junto con la frase "semicontinuo superior" .

La función característica de un conjunto de Cantor con medida positiva muestra que la función de oscilación puede ser discontinua en un conjunto de medida positiva.

Por otro lado, dado que la función de oscilación es semicontinua superior (de hecho, basta con que sea una función Baire uno), la función de oscilación será continua en un conjunto co-meager (es decir, en cada punto de un conjunto cuyo complemento tiene categoría Baire primera). Como el conjunto de discontinuidades de cualquier función es un $F_{\sigma}$ conjunto, las discontinuidades de la función de oscilación serán un $F_{\sigma}$ conjunto. La unión de los dos últimos resultados nos dice que la función de oscilación siempre tiene un $F_{\sigma}$ conjunto de discontinuidad exiguo (es decir, de la primera categoría de Baire). Creo que este resultado es agudo en el sentido de que dado cualquier $F_{\sigma}$ escaso conjunto $D,$ existe una función $f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ tal que $D$ es igual al conjunto de todos los puntos en los que la función de oscilación ${\omega}_{f}$ no es continua. No tengo tiempo de investigar esto ahora, pero creo que este resultado agudo se desprende de los resultados más precisos demostrados en [1] y [2] (véase también [3] ). En cuanto a las posibilidades que existen para los conjuntos que $F_{\sigma}$ y escaso, véase #1-7 en mi respuesta a la pregunta de StackExchange sobre matemáticas ¿Cómo de discontinua puede ser una derivada? .

[1] Zbigniew Grande, Algunas observaciones sobre la semicontinuidad superior , Fundamenta Mathematicae 126 #1 (1985), 1-13.

[2] Tomasz Natkaniec, Sobre los puntos de semicontinuidad , Bolsa de Análisis Real 9 #1 (1983-1984), 215-232.

[3] Janina Ewert, Sobre los puntos de semicontinuidad inferior y superior de los mapas multivaluados , Crónica matemática 20 (1991), 85-88.

(AÑADIDO AL DÍA SIGUIENTE) Mi conjetura anterior (donde dije Creo que este resultado es agudo en el sentido de que ) parece ser correcta. De hecho, lo dije esencialmente en este 29 de abril de 2002 sci.math post, donde mencioné que un caso especial del Teorema 5(a) en la p. 561 de [4] (referencia abajo) implica que para cada función semicontinua superior localmente acotada $f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R},$ existe una función $F:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ tal que ${\omega}_{F} = f$ . (Por analogía con el Teorema Fundamental del Cálculo, cualquier función de este tipo $F$ se llama ${\omega}$ -primitivo de $f.)$ Es razonablemente conocido que cualquier $F_{\sigma}$ El conjunto de la escasez puede ser el conjunto de la discontinuidad para una función semicontinua superior, y la prueba estándar de esto (ver el esquema de la prueba más abajo) da una función que es también localmente acotada y no negativa.

Esbozo de prueba: Dejemos que $D$ ser un $F_{\sigma}$ escaso subconjunto de ${\mathbb R}.$ Express $D$ como la unión de una colección contable (posiblemente finita) $\{P_n\}$ de conjuntos densos cerrados en ninguna parte y definir $f = \sum \left( 2^{-n}\cdot{\chi}_{P_n}\right),$ donde ${\chi}_{P_n}$ es la función característica de $P_n$ (es decir ${\chi}_{P_n}(x) = 1$ si $x \in P_{n},$ y ${\chi}_{P_n}(x) = 0$ si $x \notin P_{n}).$ Entonces $f$ es una función semicontinua superior acotada y no negativa cuyo conjunto de discontinuidad es igual a $D.$

A continuación se presentan algunas referencias adicionales relacionadas con este tema. Hay otros trabajos no incluidos, y se pueden encontrar buscando trabajos de estos autores y realizando una búsqueda de frases en Google por el título del trabajo de Kostyrko, "Some properties of oscillation".

[4] Pavel Kostyrko, Algunas propiedades de la oscilación , Matemática eslovaca 30 #2 (1980), 157-162.

[5] Zbigniew Duszyński, Zbigniew Jan Grande y Stanislav Petrovich Ponomarev, En el $\omega$ - primitivo , Matemática eslovaca 51 #4 (2001), 469-476.

[6] Janina Ewert y Stanislaw Petrovich Ponomarev, Oscilación y $\omega$ - primitivos , Bolsa de Análisis Real 26 #2 (2000-2001), 687-702.

[7] Cristina Di Bari y Calogero Vetro, Primitiva con respecto a la oscilación [Primitivas con respecto a la oscilación], Informes del Círculo Matemático de Palermo (2) 51 #1 (2002), 175-178.

[8] Janina Ewert y Stanislaw Petrovich Ponomarev, Sobre la existencia de $\omega$ - primitivas en espacios métricos arbitrarios , Matemática eslovaca 53 #1 (2003), 51-57.

[9] Stanisław Kowalczyk, En el $\omega$ - problema , Bolsa de Análisis Real Simposio de verano 2011, 120-122.