¿Cómo integrar una integral de trayectoria (sólo una trayectoria para empezar)?

Question

La definición de una integral funcional es (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_integration )

$$ \int G[f] df=\int_{-\infty}^\infty \dots \int_{-\infty}^\infty G[f] \prod{df[x]} \tag{1} $$

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Supongamos una integral de trayectoria

$$ I[p]=\int \exp(i S[p]) Dp $$

A partir de la definición (1), parece que la trayectoria debe estar parametrizada por x?

A. ¿Es esto correcto?

Si es así, podemos escribir:

$$ I[p[x]]=\int \exp(i S[p[x]]) Dp[x] $$

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Ahora, quiero integrar pero, para empezar sólo un camino $p_1$ . Además, para simplificar, supongamos que $S[p]=x$ .

Entonces, a partir de la definición de una integral funcional, obtengo:

$$ I_{p_1}=\int_{-\infty}^\infty \exp(i x) Dp_1[x] $$

B. ¿Qué pasa con $Dp_1[x]$ ? ¿Se convierte en $dx$ ? ¿Por qué? $Dp_1[x]$ se convierten en si $S[p]=x^2$ ?)

Si es así, entonces tengo

$$ I_{p_1}=\int_{-\infty}^\infty \exp(i x) dx=2\pi \delta(0) $$

C. ¿Es esto correcto?

Answer 1

La integral de trayectoria es una integral funcional y puede ser sobre cualquier medida (sobre cualquier función continua definida por un parámetro). Es decir, la función $p$ puede ser una función de $t$ o $x$ o cualquier otro parámetro. $S[p]$ significa que $S$ es una función de $p$ donde $p(x)$ (he elegido x como convención, no significa necesariamente espacio) es una función. Y la medida $Dp$ significa que es una integral sobre todas las funciones posibles $p(x)$ . Así que si eliges una en particular $p(x)$ ya no es una integral de trayectoria, es sólo una integral definida (donde se ha especificado la trayectoria). Así que la definición de integral de trayectoria no tiene ningún sentido.