Estoy tratando de derivar la forma del producto de dos funciones gaussianas de la forma $\chi = e^{-\alpha|r - A|^2}$ , donde $\alpha$ es una constante positiva y $A$ es un vector 3D. Estos se utilizan en la química computacional para representar los orbitales, por lo que sé cuál debería ser el resultado, pero no consigo ese resultado y no puedo encontrar ninguna prueba detallada de esto.
Dejemos que $\chi_P$ sea el producto de dos funciones gaussianas de esa forma: $$ \chi_p = e^{-\alpha_a|r - A|^2}e^{-\alpha_b|r - B|^2} = e^{-\alpha_a(r² -2Ar + A²) -\alpha_b(r² -2Br + B²)} $$ Consideremos sólo el exponente ( $\kappa$ ) por ahora. $$ \kappa = -((\alpha_a + \alpha_b)r² - 2*(A\alpha_a + B\alpha_b)r + ( \alpha_aA² + \alpha_bB²)) $$ Completando el cuadrado, se llega a: $$ \kappa = -\left(r² - 2\frac{(A\alpha_a + B\alpha_b)r}{\alpha_a + \alpha_b} + \frac{(A\alpha_a + B\alpha_b)²}{(\alpha_a + \alpha_b)² } - \frac{(A\alpha_a + B\alpha_b)²}{(\alpha_a + \alpha_b)² } + \frac{\alpha_aA² +\alpha_bB²}{\alpha_a + \alpha_b}\right) = -\left(\left(r - \frac{A\alpha_a + B\alpha_b}{\alpha_a + \alpha_b}\right)^2 - \frac{(A\alpha_a + B\alpha_b)²}{(\alpha_a + \alpha_b)² } + \frac{\alpha_aA² +\alpha_bB²}{\alpha_a + \alpha_b}\right) = -\left(\left(r - \frac{A\alpha_a + B\alpha_b}{\alpha_a + \alpha_b}\right)^2 + \frac{(\alpha_a\alpha_b)*(A-B)^2}{(\alpha_a + \alpha_b)^2}\right) $$ En consecuencia, $\chi_P$ es: $$ e^{-\left(r - \frac{A\alpha_a + B\alpha_b}{\alpha_a + \alpha_b}\right)^2}*e^{-\frac{(\alpha_a\alpha_b)*(A-B)^2}{(\alpha_a + \alpha_b)^2}} $$
Pero en realidad, el resultado debe ser : $$ e^{-(\alpha_a + \alpha_b)\left(r - \frac{A\alpha_a + B\alpha_b}{\alpha_a + \alpha_b}\right)^2}*e^{-\frac{(\alpha_a\alpha_b)*(A-B)^2}{\alpha_a + \alpha_b}} $$
No veo muy bien cómo conseguir esta forma o qué error he cometido.
