Verificar la ecuación de trigonometría $\tan A - \csc A \sec A (1-2\cos^2 A)= \cot A$

Question

¿Cómo podría verificar la siguiente identidad trigonométrica?

$$\tan A - \csc A \sec A (1-2\cos^2 A)= \cot A$$

Mi trabajo hasta ahora es

$$\frac{\sin A}{\cos A}-\frac{1}{\sin A}\frac{1}{\cos A}(1- \cos^2 A- \cos^2 A)$$

Answer 1

$$\frac{\sin A}{\cos A}-\frac{1-2\cos^2 A}{\sin A \cos A}=\cot A$$

Por la identidad pitagórica, $1-2\cos^2 A=\sin^2 A-\cos^2 A$ .

$$\frac{\sin A}{\cos A}-\frac{\sin^2 A -\cos^2 A}{\sin A \cos A}=\cot A$$

Si te dijera que dividieras la fracción, ¿podrías sacarla de ahí?

Answer 2

En primer lugar, yo no separaría $2\cos^2A$ como tú lo has hecho (al menos no todavía). Por otro lado, veo que se multiplican y suman fracciones. Si te sirve de ayuda, sustituye $\sin A$ con $s$ y $\cos A$ con $c$ para que puedas hacer las manipulaciones algebraicas de las fracciones.

Answer 3

$$\tan A - \csc A \sec A (1-2\cos^2 A)= \cot A$$ Como podemos escribir $\sin^2A+\cos^2A$ en lugar de $1$ . Así que,

$$\tan A - \csc A \sec A ((\sin^2A+\cos^2A)-2\cos^2 A)$$ $$\tan A - \csc A \sec A (\sin^2A-\cos^2 A)$$ $$\tan A - \csc A \sec A\ \sin^2 A+\csc A \sec A\ \cos^2 A$$ Como $\csc A \sec A\ \sin^2 A$ se reducirá a $\tan A$ y $\csc A \sec A\ \cos^2 A$ se reducirá a $\cot A$ $$\tan A - \tan A + \cot A$$ $$\cot A$$

Answer 4

$$ \ tan A-\ cosecA\ secA+ \ 2CosecA\ cosA $$ $$ \dfrac{\ sinA}{\ cosA}-\dfrac{1}{\ sinA.\ cosA}+2\ cotA $$ $$ \dfrac {\ sin^2A-1}{\ sinA \ cosA}+2\ cotA $$ $$ -\ cotA + 2\ cotA $$ $$\ cotA$$

probado....

Answer 5

Sólo quiero comentar que podría llevar su trabajo hasta ahora un poco más allá.

$$\frac{\sin A}{\cos A}-\frac{1}{\sin A}\frac{1}{\cos A}(1- \cos^2 A- \cos^2 A)$$

Lo que hay que hacer es conseguir un denominador común $$\frac{\sin A}{\cos A}\cdot\frac{\sin A}{\sin A}-\frac{1}{\sin A\cos A}(1- \cos^2 A- \cos^2 A)$$ $$=\frac{\sin^2 A}{\sin A\cos A}-\frac{1- \cos^2 A- \cos^2 A}{\sin A\cos A}$$ $$=\frac{\sin^2 A}{\sin A\cos A}-\frac{\sin^2 A- \cos^2 A}{\sin A\cos A}$$ $$=\frac{\cos^2 A}{\sin A\cos A}$$ $$=\frac{\cos A}{\sin A}$$ $$=\cot A$$

Pero en general creo que sería bueno utilizar más armas que simplemente dividir todo en senos y cosenos. Como punto de partida tenemos $$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$ $$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$$ $$\cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta$$ $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$ $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$$ Pero podríamos utilizar las identidades anteriores para llegar a estas identidades $$\cot\theta\tan\theta = \sin\theta\csc\theta = \cos\theta\sec\theta = 1$$ $$\tan\theta = \frac{\sec\theta}{\csc\theta}, \cot\theta = \frac{\csc\theta}{\sec\theta}$$

Así que vamos a intentar el mismo problema de nuevo, pero esta vez desplegando estas nuevas armas. $$\tan A - \csc A \sec A (1-2\cos^2 A)$$ $$=\cot A \tan A(\tan A - \csc A \sec A (1-2\cos^2 A))$$ $$=\cot A( \tan^2 A - \frac{\sec A}{\csc A}\csc A \sec A (1-\frac{2}{\sec^2 A})))$$ $$=\cot A( \tan^2 A - \sec^2 A (1-\frac{2}{\sec^2 A})))$$ $$=\cot A( \tan^2 A - \sec^2 A + 2)$$ $$=\cot A( (\sec^2 A - 1) - \sec^2 A + 2)$$ $$=\cot A$$

Lo que quiero decir es que a veces es más conveniente expresar todo en términos de sins y coss, pero otras veces es mejor expresar todo en términos de tans y secs (o cots y cscs). Estas otras identidades harán que tus simplificaciones trigonométricas sean más potentes.