distribución exponencial

Question

No he encontrado una demostración en la web de cómo obtener la distribución de probabilidad exponencial sin usar una distribución de Poisson, y yo mismo no consigo hacerlo.

Estoy tratando de entender cómo obtener este pdf con la única suposición de que para cada intervalo dt, la probabilidad de un evento es constante. Supongo que la demostración es bastante inmediata, pero me falta.

Answer 1

Todavía no estoy seguro de haber entendido correctamente su condición con $dt$ pero hay una motivación habitual. Queremos $\tau\in\mathcal E$ no tener memoria, es decir $$ P(\tau\geq t+s|\tau \geq t) = P(\tau\geq s) $$ para todos $s,t\geq 0$ . Por la fórmula de la probabilidad condicional esto lleva al hecho $$ P(\tau\geq t+s) = P(\tau\geq s)P(\tau\geq t) $$ lo que implica claramente que la densidad es $\lambda \mathrm e^{-\lambda t}$ .

Puedo suponer que también se refiere a la propiedad $$ \frac{P(\tau \in dt|\tau\geq t)}{dt} = c. $$ De nuevo, utilizando la fórmula $\displaystyle{P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}$ obtenemos $$ \frac{P(\tau \in dt)}{dt} = cP(\tau\geq t), $$ es decir $$ f(t) = c(1-F(t)) $$ donde $f(t)$ es una función de densidad y $F(t)$ es una función de distribución. Ahora sólo hay que recordar que $F' = f$ y resolver una EDO.

Answer 2

La pregunta no está clara, pero tal vez le resulte útil lo siguiente.

Para $t > 0$ fijo, dejemos que $E_k$ , para $k=1,\ldots,n$ denotan el evento de $0$ eventos en el intervalo de tiempo $I_k = [\frac{{(k - 1)t}}{n},\frac{{kt}}{n}]$ . Desde $I_k$ tiene una longitud $t/n$ , $$ {\rm P}(E_k^c) = \lambda \frac{{ t}}{n} + o\bigg(\frac{1}{n}\bigg) \;\; {\rm as} \;\; n \to \infty. $$ Por lo tanto, $$ {\rm P}(E_k) = 1 - \lambda \frac{{ t}}{n} + o\bigg(\frac{1}{n}\bigg) \;\; {\rm as} \;\; n \to \infty. $$ Ahora, por independencia, la probabilidad $p_t$ de $0$ eventos en el intervalo de tiempo $[0,t]$ viene dada por $$ p_t = {\rm P}(E_1 ) \cdots {\rm P}(E_n ) = \bigg(1 - \frac{{\lambda t}}{n} + o\bigg(\frac{1}{n}\bigg)\bigg)^n . $$ Dejar $n \to \infty$ Esto da como resultado $$ p_t = e^{ - \lambda t} . $$ Esta probabilidad corresponde a ${\rm P}(X > t)$ , donde $X$ es exponencial con parámetro $\lambda$ .

EDITAR: Tenga en cuenta que $n o(1/n) \to 0$ como $n \to \infty$ . De ahí se deduce que $$ \bigg(1 - \frac{{\lambda t}}{n} + o\bigg(\frac{1}{n}\bigg)\bigg)^n \to e^{ - \lambda t} . $$