Intersección de álgebras sigma mínimas de dos variables aleatorias independientes

Question

Considere un espacio de probabilidad $(\mathcal{X},\mathcal{M},P).$ Dejemos que $Y$ y $Z$ sean dos variables aleatorias independientes. ¿Cuál es el contenido de $\sigma(Y)\cap\sigma(Z)$ ? Es trivial que $\{\varnothing,\mathcal{X}\}\subset\sigma(Y)\cap\sigma(Z).$ No soy capaz de demostrar si existen más conjuntos (posiblemente de medida cero o uno). ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Todos los conjuntos de la intersección tienen una medida de $0$ o $1$ .

Tenga en cuenta que si $A \in \sigma(Y) \cap \sigma(Z)$ que tenemos por la independencia $P(A) = P(A \cap A) = P(A) \cdot P(A)$ lo que sólo puede ser cierto para $P(A) \in \{0, 1\}$ .

No creo que se pueda decir mucho más sobre el contenido, tomemos por ejemplo dos variables aleatorias constantes.