Las variables se pueden eliminar entre las ecuaciones polinómicas utilizando resultantes . Para el sistema de ecuaciones aquí, eliminando $\,y,z\,$ entre las tres ecuaciones da como resultado una ecuación polinómica de grado $\,8\,$ en $\,x\,$ .
Sin embargo, la forma particular de estas ecuaciones significa que si $\,(x,y,z)\,$ es una solución, entonces también lo es $(-x,-y,-z)$ , por lo que el octic en $\,x\,$ resulta ser un bicuártico, es decir, un cuártico en $\,x^2\,$ . La ecuación explícita es demasiado complicada para derivarla a mano, pero puede calcularse fácilmente con un CAS, por ejemplo este es el de WA resultado .
El general cuartico puede resolverse mediante radicales, por lo que es técnicamente posible elaborar las soluciones de forma cerrada para $\,x\,$ y luego $\,y,z\,$ después de volver a sustituir en las ecuaciones originales. Sin embargo, esto no es muy práctico, ya que la cuártica aquí es irreducible en general, por lo que las soluciones llevarán todo el peso de las fórmulas generales de la cuártica.
Los casos particulares aún pueden dar lugar a cálculos simplificados, por ejemplo $a_1 = -1,$ $b_1 = 0$ , $c_1 = 1$ , $a_0 = 3$ , $b_0 = 2$ , $c_0 = 1$ da $x^8 - 7 x^6 + 18 x^4 - 16 x^2 + 4 = 9$ con unas "bonitas" raíces reales $\,x=\pm 1, \pm \sqrt{2 - \sqrt[3]{4}}\,$ .
