Condición necesaria en el Teorema de Egoroff

Question

Construir una secuencia $\{f_n\}$ de funciones medibles en $[0,1]$ tal que la secuencia converge en todas partes en $[0,1]$ pero para cualquier conjunto $B\subset [0,1]$ de medida $1$ la secuencia no converge uniformemente en $B$ ..

Esto dice que no siempre es posible tener $\mu(A\setminus B)=0$ en el caso del teorema de Egoroff.

En primer lugar necesito alguna secuencia de funciones que no converja uniformemente..

Tomo funciones características $f_n=\chi_{[0,\frac{1}{n}]}$ en $[0,1]$ .. Dado cualquier $x<1$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{N}<x$ Así que.., $f_N(x)=0$ y $f_n(x)=0$ para todos $n\geq N$ .. Así que, $f_n$ converge puntualmente a la función constante cero en todas partes.. Tengo problemas para demostrar que esta convergencia no es uniforme... (espero que no converja uniformemente)

Otra dificultad es que cómo puedo demostrar que esta convergencia no es uniforme en cualquier subconjunto $B\subset [0,1]$ de medida $1$ ..

Ayúdame a resolver esto..

Answer 1

Dejemos que $B \subseteq [0,1]$ cualquier conjunto de medida $1$ y $g_n := f_n \cdot \chi_B$ . Demostramos que $\|g_n\|_\infty \not\to 0$ lo que demuestra que $f_n$ no converge a $\chi_{\{0\}}$ uniformemente en $B$ (que es el único límite posible). Para ello, hay que tener en cuenta que como $\mu(B) + \mu([0,\frac 1n]) = 1+\frac 1n > \mu([0,1])$ tenemos $\mu(B \cap [0,\frac 1n]) > 0$ . Por lo tanto, $g_n = \chi_{B \cap [0,\frac 1n]}$ tiene valor 1 en un conjunto de medida positiva, prooving $\|g_n\|_\infty = 1$ . Como $\|\chi_{\{0\}}\| = 0$ no podemos tener $g_n \to \chi_{B \cap \{0\}}$ en $L^\infty$ (y por lo tanto no de manera uniforme).