Es la permutación en un subgrupo de $S_6$ ?

Question

Considere la permutación $\sigma = (123)(46)$ Supongamos que los vértices de un hexágono regular están etiquetados en el orden contrario a las agujas del reloj con los números $1$ a través de $6$ . Entonces el grupo diédrico $D_6$ de simetrías del hexágono puede identificarse con un subgrupo de $S_6$ . Es $\sigma \in D_6$ ?

Mi intento : Tenga en cuenta que $D_6$ se genera mediante rotaciones y reflexiones, por lo que $D_6 = \{e, s, r, ..., r^5, rs, r^2s, ..., r^5s\}.$ Intuitivamente, creo, si cambiamos la etiqueta de 1 vértice, entonces claramente las etiquetas de otros vértices cambiarían también, pero $\sigma$ mueve todos los elementos excepto $5$ . Por lo tanto, $\sigma \notin D_6$ . ¿Hay una manera más formal de mostrar esto?

Answer 1

Estoy tentado de utilizar un argumento posiblemente menos formal pero más breve:

Los vértices etiquetados $1$ y $6$ son adyacentes, pero sus imágenes bajo $\sigma$ , es decir, los vértices etiquetados $2$ y $4$ no lo son. Por lo tanto, $\sigma$ no es una simetría del hexágono.

La idea es que adyacente equivale a vecino más cercano . Y una simetría preserva las distancias, de ahí la vecino más cercano -relación.

Hay muchas alternativas:

• Una simetría asignará pares de puntos diametralmente opuestos a otros pares de este tipo. Así, si el número de vértices $5$ es un punto fijo, su vértice opuesto $2$ también debería estar arreglado. Si me presionan para que añada algo a su respuesta, ¡podría usar esto!
• Si $\sigma$ fuera una simetría, también lo sería $\sigma^3$ . Pero $\sigma^3=(46)$ sólo cambia dos vértices, lo cual es absurdo dado que estamos mirando un hexágono (para ver lo absurdo podemos volver a mirar la adyacencia, posiblemente significando que esto no es diferente de los otros enfoques).