¿Cuál es la distribución del tiempo de absorción para una cadena de Markov absorbente?

Question

Estoy interesado en encontrar la distribución del tiempo de absorción para una matriz de transición de una cadena de Markov absorbente dada. He mirado el tiempo de primer paso (donde $f_{ij}^{(n)}$ es la probabilidad de que el primer pasaje de $i$ a $j$ ocurre exactamente en $n$ pasos).

En mi caso particular tengo un único estado absorbente, que llamaré $j$ . Creo que puedo encontrar la función de masa de probabilidad ya que $P(x=0)=0\cdot f_{ij}^{(0)}, P(x=1)=1 \cdot f_{ij}^{(1)}, \ldots $ pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

La distribución de una variable aleatoria que representa el tiempo de absorción de una cadena de Markov con un único estado de absorción se denomina distribución de tipo de fase discreta .

Resumiendo el artículo de la wiki: supongamos que la última fila del $n\times n$ corresponde al estado de absorción y dejemos que $T$ sea la parte superior izquierda $(n-1)\times(n-1)$ bloque. El pmf para el tiempo de absorción dada la distribución inicial $\tau$ es entonces $$p(k) = \tau T^{k-1} T_0 $$ donde $T_0$ es el vector formado por el primer $n-1$ entradas de la última columna de la matriz de transición, mostrando que estas distribuciones son generalizaciones de la distribución geométrica.