Límite de una integral con una función periódica

Question

Dejemos que $f , g$ sean funciones continuas: $f:[0 , 2\pi]\rightarrow\mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ . Supongamos que $\forall x\in\mathbb{R}:g(x+2\pi)=g(x)$ y $$\int\limits_{0}^{2\pi} \! {g(x)} \, \mathrm{d}x=0.$$ Demostrar que $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int\limits_{0}^{2\pi} \! {f(x) g(nx)} \, \mathrm{d}x=0.$$

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He empezado a evaluar la diferencia hacia arriba pero parece que no sirve de nada: $$\left| \int\limits_{0}^{2\pi} \! {f(x) g(nx)} \, \mathrm{d}x-0 \right|=\left| \int\limits_{0}^{2\pi} \! {f(x) g(nx)} \, \mathrm{d}x \right|\leq\int\limits_{0}^{2\pi} \! {\left|f(x) g(nx)\right|} \, \mathrm{d}x=\int\limits_{0}^{2\pi} \! {\left|f(x)\right| \left|g(nx)\right|} \, \mathrm{d}x$$ $$=\left|f(\xi)\right| \int\limits_{0}^{2\pi} \! { \left|g(nx)\right|} \, \mathrm{d}x$$ para algunos $\xi \in ]0 , 2\pi[$ . ¿Qué es lo siguiente?

Answer 1

Desde $g$ es $2 \pi$ periódica con media cero, se deduce que $t \mapsto g(nt)$ es $\frac{2 \pi}{n}$ periódico con media cero. En consecuencia, si $I \subset [0,2 \pi]$ es cualquier intervalo de longitud $\frac{2 \pi}{n}$ entonces $\int_0^{2 \pi} 1_I(t) g(nt) dt = 0$ .

Dejemos que $f_n(t) = f(\frac{2 \pi}{n}\lfloor \frac{nt}{2 \pi} \rfloor)$ y observe que $f_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(\frac{k}{n}2 \pi)1_{[\frac{k}{n}2 \pi, \frac{k+1}{n}2 \pi)}$ en $[0,2 \pi)$ . Del párrafo anterior se deduce que $\int_0^{2 \pi} f_n(t) g(nt) dt = 0$ .

Desde $f$ es continua, es uniformemente continua en $[0,2 \pi]$ . Sea $\epsilon>0$ y que $\delta>0$ sea tal que si $|x-y| < \delta$ entonces $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ . Elija $N$ tal que $\frac{2 \pi}{N} < \delta$ y que $n \ge N$ . Tenga en cuenta que $|f(t)-f_n(t)| < \epsilon$ para todos $t$ .

Entonces tenemos la estimación \begin{eqnarray} | \int_0^{2 \pi} f(t) g(nt) dt| &\le &| \int_0^{2 \pi} (f(t)-f_n(t)) g(nt) dt|+ | \int_0^{2 \pi} f_n(t) g(nt) dt| \\ &\le& \int_0^{2 \pi} |f(t)-f_n(t)| |g(nt)| dt + 0\\ &\le& \epsilon \int_0^{2 \pi} |g(nt)| dt \\ &=& \epsilon \int_0^{2 \pi} |g(t)| dt \end{eqnarray} Por lo tanto, tenemos el resultado deseado.

Answer 2

Una idea: la sustitución:

$$u:=nx\Longrightarrow dx=\frac{du}{n}\Longrightarrow \int\limits_0^{2\pi} g(nx)dx=\frac{1}{n}\int\limits_0^{2\pi n} g(u)\,du=0$$

desde

$$\int\limits_0^{2n\pi}g(u)\,du=\sum_{k=1}^n\;\int\limits_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}g(u)\,du$$

pero, para cualquier $\,1\le k\le n\,$ :

$$\int\limits_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}g(u)\,du=\int\limits_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}g(u+2k\pi)\,du=\int\limits_0^{2\pi}g(t)\,dt=0$$

donde la segunda igualdad se deduce de la sustitución

$$t:=u-2(k-1)\pi\,\;,\;\;dt=du$$