Para qué valor(es) del parámetro a es posible encontrar fórmulas explícitas ( sin integrales)

Question

¿Para qué valor(es) del parámetro a es posible encontrar fórmulas explícitas ( sin integrales) para la solución de $$\dfrac {dy}{dt} = aty + e^{-t^2}$$

He intentado resolver la pregunta por el método de encontrar el factor integrador de la ecuación diferencial de la forma $dy/dt + P(t)y = Q(t)$ pero no pude llegar a ninguna conclusión al no poder resolver la integral. Además, la pregunta dice que no hay que usar integrales. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

$$\dfrac {dy}{dt} -aty = e^{-t^2}$$ El facvtor integrador debe ser $$\mu(t)=e^{-at^2/2}$$ $$(ye^{-at^2/2})'=e^{-t^2}e^{-at^2/2}$$ $$(ye^{-at^2/2})'=e^{-t^2(1+a/2)}$$ No se puede encontrar una forma cerrada para la integral del lado derecho, excepto: $$\dfrac a2+1=0$$ Entonces se puede encontrar una forma cerrada para $y(t)$ . $$(y(t)e^{-at^2/2})'=1$$

Answer 2

Sugerencia

Como comentó @achille hui $$y'=at y \implies y=C\,e^{\frac{a t^2}{2}}$$ La variación de los parámetros da $$e^{\frac{a t^2}{2}} C'=e^{-t^2}\implies C'=e^{-\frac{a+2}{2} t^2}\implies C=K+\int e^{-\frac{a+2}{2} t^2}\,dt$$ y esto me recuerda una integral bastante simple.