Ideales máximos principales en Z[x]/(F)

Question

¿Existe algún irreducible $F \in \mathbb{Z}[x]$ tal que $\mathbb{Z}[x]/(F)$ no tiene un ideal máximo principal? Equivalentemente, ¿es posible que el $1$ -dominio integral de dimensiones $\mathbb{Z}[x]/(F)$ no tiene ningún elemento primo?

Los ideales máximos tienen la forma $(p,f)$ , donde $p \in \mathbb{Z}$ es un primo y $f \in \mathbb{Z}[x]$ es un polinomio mónico tal que $f \bmod p$ es un factor irreducible de $F \bmod p$ . En particular, $F$ debe ser reducible modulo cada número primo. Véase aquí para una clasificación de los polinomios biquadráticos con esta propiedad. Pero esto no es suficiente, ya que $F=x^4+1$ espectáculos. Esto es irreducible, reducible modulo cada número primo, pero $(2,x+1)=(x+1)$ en $\mathbb{Z}[x]/(x^4+1)$ . Un mejor candidato parece ser $F=x^4-10x^2+1$ He comprobado $(p,f) \neq (f)$ para algunos primos $p$ .

Sospecho que la pregunta está relacionada con el grupo de clase de la curva $V(F) \subseteq \mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}$ ?

Antecedentes: La pregunta es equivalente a la pregunta si $\mathbb{Z}[x]$ gana en el juego de los dominios integrales, que es una simplificación del juego de anillos por Will Sawin.

Answer 1

Dejemos que $A$ sea un orden en el anillo de enteros $O_K$ de un campo numérico $K$ . Afirmamos que hay infinitos ideales máximos principales $P$ de $A$ . Utilizando la localización en primos racionales, tenemos una biyección entre los conjuntos de ideales máximos de $A$ y $O_K$ con característica de residuo relativamente primo a $N = [O_K:A]$ a través de $P \mapsto P \cap A$ y $P' \mapsto P'O_K$ .

De este modo, vemos que es inofensivo sustituir $A$ por un suborden, por lo que podemos suponer $A = \mathbf{Z} + M O_K$ para un número entero $M > 0$ . Para $x \in 1 + MO_K$ tenemos $A \cap xO_K = xA$ . De hecho, si $y \in O_K$ y $xy = c + Mt$ para $t \in O_K$ entonces tenemos que demostrar que $y \in \mathbf{Z} + M O_K$ pero esto está claro ya que $xy \equiv c \bmod M O_K$ y $x \equiv 1 \bmod M O_K$ . Por lo tanto, si $xO_K$ es un ideal primo de $O_K$ puis $xA$ es un ideal primo de $A$ por lo que basta con construir infinitos ideales maximales $P$ de $O_K$ que admite un generador congruente a 1 módulo $M O_K$ .

Esta última formulación no menciona en absoluto el orden, y es un caso especial del hecho más general de que para cualquier ideal no nulo $J$ de $O_K$ lo que sea, $O_K$ tiene infinitos ideales máximos principales $P$ admitiendo un generador $x \equiv 1 \bmod J$ . La existencia de un número infinito de tales $P$ se desprende del método de demostración del caso "abeliano" del Teorema de la Densidad de Chebotarev (utilizando caracteres de clase ideal generalizados en el papel de los caracteres de Dirichlet en la demostración del teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas). Así que tácitamente aquí estamos utilizando las propiedades analíticas básicas de $L$ -adjuntas a los caracteres de los grupos de clases ideales generalizados (que pueden demostrarse de varias maneras, como por ejemplo utilizando $\zeta$ -funciones y teoría del campo de clases si se quiere ser ahistórico).