Extraño isomorfismo: $R/(A + B) \cong (R/B)/\bar{A}$ .

Question

$R$ es un anillo y $A, B$ son ideales de $R.$

Estaba jugando con algunas cosas y me preguntaba si $R/(A + B) \cong (R/B)/\bar{A}.$ para $\bar{A}$ siendo la imagen de $A$ en $R \rightarrow R/B.$ Estoy bastante seguro de que tengo una prueba para ello. Publicaré una "prueba" como respuesta si el isomorfismo es correcto. Simplemente no sé si es correcto porque nunca he visto esto antes. O... ¿es simplemente incorrecto?

Answer 1

Esto es una consecuencia del segundo teorema del isomofismo (sobre wikipedia se denomina de todos modos el tercero): $B \leq A+B \leq R$ implica que $$R/(A+B) \cong (R/B)/((A+B)/B)$$ Donde no es difícil demostrar que $(A+B)/B$ es la imagen de $A$ a través del mapa $\pi : R \to R / B$

Answer 2

Tenemos un mapa de $R \rightarrow (R/B)/\bar{A}$ que es un homomorfismo ya que es la composición de los mapas naturales $R \rightarrow R/B$ y $R/B \rightarrow (R/B)/\bar{A}.$ También es suryectiva, ya que es la composición de mapas suryectivos. No es difícil ver que el núcleo es $A + B.$ Sin embargo, la respuesta de @JayTuma parece ser un enfoque más directo utilizando el segundo teorema de isomorfismo.