Estimador de máxima verosimilitud para $\alpha$ .

Question

Estoy tratando de trabajar esta cuestión y necesito una explicación ( El punto de partida ). ¿Cómo puedo encontrar el MLE para $\alpha$ y el MSE de la MLE para $\alpha$ si tenemos lo siguiente: $X_{1}, ..., X_{n}$ son constantes y $u_1, ...u_n$ son iid $N(0, \sigma^2 )$ y $\sigma^2$ se supone que se conoce. Supongamos que $Z_1, ..., Z_n$ son muestras aleatorias que satisfacen $$Z_j = \alpha X_j + u_j$$

Answer 1

La densidad para obtener $Z_j$ , dado $\alpha$ es la de $u_j=Z_j-\alpha X_j$ por lo que la probabilidad es proporcional a

$$\prod_{j=1}^n\exp\left(-\frac1{2\sigma^2}\left(Z_j-\alpha X_j\right)^2\right)=\exp\left(-\frac1{2\sigma^2}\sum_{j=1}^n\left(Z_j-\alpha X_j\right)^2\right)\;.$$

Así, la máxima probabilidad se alcanza en el mínimo de la función cuadrática de $\alpha$ en el exponente. Como has pedido un punto de partida, lo dejaré así por ahora.