Demostrar que $\det( M) \in \mathbb{Z}$ .

Question

El problema es el siguiente: Sea $\Gamma$ sea un grupo multiplicativo finito de matrices con entradas complejas. Sea $M$ denotan la suma de las matrices en $\Gamma$ . Demostrar que det $M$ es un número entero.

Intento de solución: La pista decía: cuadrar M y utilizar la distributividad de la multiplicación respecto a la suma de matrices.

Así que he intentado hacerlo pero no soy capaz de llegar a nada.

Answer 1

Dejemos que $G_1,G_2, \dots, G_k$ sean los elementos de $\Gamma$ .

$$M^2 = (G_1+G_2+ \dots+ G_k)^2 = \sum_{i=1}^{k}G_i\left(\sum_{j=1}^k G_j\right)$$ $$= \sum_{i=1}^{k}G_i \left(\sum_{G \in \Gamma} G_i^{-1}G\right) = \sum_{G \in \Gamma} \sum_{i=1}^{k}G_i(G_i^{-1}G) = k\sum_{G \in \Gamma}G = kM$$ Tomando determinantes, obtenemos que $(\det M)^2 = k^n \det M$ . Por lo tanto, o bien $\det M = 0$ o $\det M$ es igual al orden de $\Gamma$ elevado a la $n$ de la potencia.

Answer 2

Una pista:

Dejemos que $\Gamma=\{A_1,\ldots,A_n\}$ .

Nota $$M^2 = \sum_{i,j} A_i A_j = n \sum_i A_i = n M.$$ (Para los fijos $i$ , $\Gamma=\{A_iA_1,A_iA_2,\ldots,A_iA_n\}$ por lo que la doble suma va sobre todos los elementos, cada uno $n$ veces).

Answer 3

Esto también puede demostrarse utilizando la teoría de representación básica de los grupos finitos (aunque esto puede ser una exageración).

Un grupo $\Gamma$ de $N\times N$ Las matrices pueden verse como un grupo abstracto dotado de una representación en un espacio vectorial complejo de N dimensiones. $\frac{M}{|\Gamma|}$ es bien conocido por ser la proyección sobre el subespacio de invariantes. Ahora, consideremos dos casos:

• Todo el espacio vectorial es invariable. Por lo tanto, el subespacio de invariantes coincide con todo el espacio, y el operador de proyección coincide con la identidad: $\frac{M}{|\Gamma|} = 1$ . Tomando los determinantes, tenemos $\frac{\det M}{|\Gamma|^N}=1$ o $\det M = |\Gamma|^N$ . Nótese que en este caso todas las matrices del grupo actúan como operadores de identidad (ya que todo el espacio está formado por invariantes), por lo que son operadores de identidad, y el grupo es realmente trivial: $|\Gamma|=1$ y $\det M=1$ .
• El subespacio de invariantes es propio. Entonces, el operador de proyección tiene un núcleo no trivial y no es inyectivo, por lo que $\det\frac{M}{|\Gamma|}=0$ y $\det M=0$ .

Por lo tanto, sólo tenemos dos opciones:

• $\Gamma$ es trivial y $\det M=1$
• $\Gamma$ es no trivial y $\det M=0$

Tenga en cuenta que en cualquier caso $\det M \in \{0,1\}$ , no sólo $\det M \in \mathbb{Z}$ .