Otra prueba de la existencia de subsecuencias monótonas

Question

¿Existe alguna otra prueba del teorema de Bolzano-Weierstrass (es decir, que ${\{x_n}\}$ sea una secuencia arbitraria de números reales. Entonces ${\{x_n}\}$ tiene una subsecuencia monótona), SIN utilizar el concepto de "picos" .

Gracias.

Answer 1

El teorema de Bolzano-Weierstrass se suele enunciar así: cualquier secuencia acotada en $\mathbb{R}^N$ tiene una subsecuencia convergente. La prueba para el general $N$ se sigue por inducción una vez que se tiene el caso base, que además de la prueba habitual se puede demostrar que el límite superior de una secuencia existe y que, para cada $\epsilon>0$ la secuencia contiene un punto como máximo $\epsilon$ distancia del límite superior. También se podría utilizar la construcción del límite superior para demostrar la existencia de una subsecuencia monótona, pero esto es más o menos el concepto de picos de todos modos.