Densidad de funciones Lipschitz en el conjunto de funciones uniformemente continuas

Question

Dejemos que $(E,d)$ sea un espacio métrico compacto consideramos la distancia sup

$$d_\infty(f,g) = \sup_{x\in E}d(f(x),g(x))$$

En el ejercicio se pide demostrar que $(Lip(E), d_\infty$ ) conjunto de funciones Lipschitz sobre $(E,d)$ es denso en $(Uc(E), d_\infty$ ) conjunto de funciones uniformemente continuas sobre $(E,d)$ .

Además, para un determinado $f:E\to \Bbb R$ entonces construye una secuencia explícita $(f_j)_j$ de funciones Lipschitz que convergen uniformemente a $f$ .

De hecho, este ejercicio se corregirá la próxima semana.

Así que pido amablemente una pista o truco sobre cómo puedo construir dicha secuencia.

Answer 1

Pista/truco: tomar $$f_j(x)=\inf_{y\in E}\{f(y)+j\cdot d(x,y)\}.$$

$$f_j\overset{Uc}{\longrightarrow} f$$