Estoy tratando de encontrar el límite de los siguientes problemas, como $n \to \infty$ (poner en un solo post en lugar de varios). Recientemente he aprendido la prueba de proporción para las secuencias, por lo que creo que se utilizará en los problemas.
- $\frac{n^{1000}}{2^{n}}$
- $\frac{1.0001^{n}}{n}$
- $(\frac{x^{n}}{n^{k}})$ para $ x > 0, k=1,2,\dots$
- $\Big(\frac{n^{4}11^{n}+n^{9}9^{n}}{7^{2n}+1}\Big)$
- $\Big((4^{10}+2^{n})^{\frac{1}{n}}\Big)$
- $\Big(\frac{3n^{3}+n\cos^{2}n}{n^{2}+\sin^{2}n}\Big)$
- $\Big((3n^{2}+n)^{\frac{1}{n}}\Big)$
Intento:
1. Deje que $a_{n} = \frac{n^{1000}}{2^{n}}$ . Entonces $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{1000}}{2n^{1000}}$ . He pensado en aplicar la desigualdad de Bernoulli al numerador para deducir que es $ \geq 0$ y luego tratar de encontrar un límite superior para aplicar el teorema del sándwich.
2. Permita que $a_{n} = \frac{1.0001^{n}}{n}$ . Entonces $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{1.0001n}{n+1}$ . No sé muy bien cómo justificar ahora que esto llega hasta el infinito.
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No estoy seguro de cómo probar esto. Tal vez por inducción asumiendo que el límite es $0$ ?
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Esto es $0$ ya que la mayor potencia está en el denominador. Pero esto no me parece una prueba suficiente.
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No estoy seguro de si esto es permisible, pero aprendí que el límite de $(x^{n}+y^{n})^{\frac{1}{n}} = \max\{x,y\}$ . Si se aplica esto aquí, obtengo que el límite es $2$ . Si esto no es admisible, he pensado en reescribir la secuencia como una exponencial.
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Esto va hasta el infinito. Porque el grado del numerador es el más alto, pero de nuevo no estoy seguro de que esto sea una prueba suficiente.
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No estoy seguro de cómo responder a esta pregunta.
Gracias.
