¿El conjunto vacío (∅) es un subconjunto adecuado de cada conjunto?

Question

Estoy un poco confundido acerca del concepto de subconjuntos adecuados, ​​precisamente si incluir uno o ambos del conjunto vacío y el propio conjunto.

Un extracto de mi módulo es el siguiente:

Obviamente, cada conjunto es subconjunto de sí mismo y el conjunto vacío $\emptyset$ es subconjunto de cualquier conjunto. Estos dos subconjuntos se llaman subconjuntos impropios.

También incluye un teorema que establece que "Sea A un conjunto finito con n elementos. Entonces el número total de subconjuntos de A es ($2^n$) y el número de subconjuntos adecuados de A es ($2^{n}-1)."

Luego nuevamente en una solución de muestra de este problema "Si A = {a,b,c}, ¿cuál es el número de subconjuntos adecuados de A?"

El número total de subconjuntos de {a,b,c} = $2^3$ = 8. Pero cada conjunto tiene dos subconjuntos impropios, por lo que el número de subconjuntos impropios es 6.

¿Es correcta esta solución? Si es así, por favor explique el concepto.

Answer 1

Llamar a $\emptyset$ y $A$ "subconjuntos impropios" de un conjunto $A$ no es universal, y es confuso en este caso, porque el significado de "propio" no es el mismo. Es estándar decir que $S$ es un subconjunto propio de $A$ si (y solo si) cada elemento de $S$ es un elemento de $A, pero $S$ no es igual a $A, es decir, al menos un elemento de $A$ no está en $S$. Bajo esta definición, $\emptyset$ es un subconjunto propio de cada conjunto no vacío, incluso si es "impropio" según la convención que también se te dio. Solo recuerda que la terminología matemática varía y no siempre es lógica. Aquí "impropio" no significa "no propio". (Por esta razón, personalmente no usaría la convención de llamar al conjunto vacío "impropio".)

Cuando encuentres todos los subconjuntos propios, debes contar el conjunto vacío.

Answer 2

Dado un conjunto $A$, un subconjunto propio es cualquier conjunto $B$ tal que $B\subseteq A$ y $B\neq A$; es decir, $B$ está contenido en $A$ pero no es igual a $A. Esto se denota como $B\subset A$ en algunos textos.

Entonces, mientras que $A$ es un subconjunto de sí mismo, no es un subconjunto propio de sí mismo. Y esto es cierto para cualquier conjunto, incluso el conjunto vacío (o conjunto nulo, como lo llamas).

Hablando de eso, el conjunto vacío $\emptyset$ no solo es un subconjunto de cualquier conjunto, sino también un subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío.

Editado para incluir una solución a la nueva pregunta del OP:

Tienes la respuesta frente a ti. Si $A$ tiene cardinalidad $n$, entonces el número de subconjuntos es $2^n$ y el número de subconjuntos propios es $2^n-1$, porque el único conjunto que debemos "descartar" es $A$ mismo para obtener todos los subconjuntos propios.

Entonces, si $A=\{a,b,c\}$, entonces hay $2^3-1=7$ subconjuntos propios. Simplemente los podemos listar:

$\{a,b\}$

$\{a,c\}$

$\{b,c\}$

$\{a\}$

$\{b\}$

$\{c\}$

$\emptyset$

Answer 3

Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si cada elemento de A también es un elemento de B.

Un conjunto A es un subconjunto propio de un conjunto B si A es un subconjunto de B y hay al menos un elemento de B que no es un elemento de A.

Por lo tanto, el conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos, y es un subconjunto propio de cada conjunto excepto de sí mismo.

También, hay que tener en cuenta que representamos el conjunto vacío utilizando $\emptyset$, no $\phi$.

Answer 4

La idea básica aquí es la de Verdad Vacía. El cuantificador universal aplicado al conjunto vacío es, por definición, verdadero. En símbolos, $\forall{x}{\in}\emptyset \, P(x)$ es verdadero, sin importar la declaración $P(x)$ (ver también esta página de Wikipedia). Esto se define principalmente de esta manera por conveniencia, ya que de lo contrario siempre tendrías que considerar el conjunto vacío como un caso especial cada vez que uses el cuantificador universal.

Esto se aplica a los subconjuntos porque un conjunto $A\subseteq B$ por definición significa $\forall x\in A \, x\in B$. Si $A=\emptyset$, entonces aquí $P(x)=x\in B$, y vemos que de lo anterior esto debe ser verdadero, es decir, $\emptyset \subseteq B$ para cualquier conjunto $B.

Por cierto, "subconjunto propio" casi siempre significa $A\subset B;\,A\neq B$, así que por supuesto $\emptyset$ es un subconjunto propio de cualquier conjunto, excepto de sí mismo.

Answer 5

Por definición, un conjunto A se dice que es un subconjunto propio de otro conjunto B si y solo si A es un subconjunto de B y A no es igual a B. En otras palabras, se dice que A es un subconjunto propio de B si B no es un subconjunto de A. Por lo tanto, se sigue que el conjunto vacío es un subconjunto propio de cada conjunto.