Si $f'(x) = -f(x)$ y $f(1)=1$ Entonces, ¿qué es $f(x)$ ?

Question

Si $f'(x) = -f(x)$ y $f(1)=1$ entonces $f(x)=$

(a) $1/2e^{-2x+2}$

(b) $e^{-x-1}$

(c) $e^{1-x}$

(d) $e^{-x}$

(e) $-e^{x}$

Si se conecta $1$ para $x$ en la opción c te da $e^{1-1}$ o $e^0$ que es $1$ de ahí lo que se necesita.

Answer 1

Una pista: Todo lo que hay que hacer en este caso es evaluar $f(1)$ : $f_A(1), f_B(1), f_C(1), f_D(1), f_E(1)$ .
Muestra tus cálculos en cada caso.

Haciendo esto se descartan todas las posibilidades excepto $(C)$ independientemente de la primera condición, aunque se quiere evaluar $f'_C(x)$ para demostrar que $f_C = f'_C$ .

Answer 2

Si $f'(x) = -f(x)$ , entonces $0 = f'(x)+f(x) = e^x(f'(x)+f(x)) = (e^x f(x))' $ así que $e^x f(x)$ es constante.

Set $e^x f(x) = c$ y establecer $x = 1$ . Entonces, como $f(1) = 1$ , $c = e f(1) = e$ así que $f(x) = e e^{-x} = e^{1-x}$ .

Una solución alternativa es escribir $f'(x)/f(x) = -1$ así que $(\ln(f(x))'=-1$ así que $\ln f(x) = c-x$ o $f(x) = e^{c-x}$ para alguna constante $c$ .

Esto tiene el problema de que $f(x) = 0$ causa problemas, y la primera solución no tiene este problema.

Answer 3

Se trata de una ecuación diferencial separable. Tenemos $\frac{dy}{dx} = -y$ Así que

$$\int \frac{dy}{y} = \int -dx$$

y obtenemos la solución general $y = e^{-x + k}$ . La condición inicial $y(1) = 1$ implica $k = 1$ en este caso.

Answer 4

Si $f'(x) = -f(x)$ , entonces

$\frac{f'(x)}{f(x)}=-1 \implies \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=-\int dx \implies f(x)= e^{-(x-k)}\ $ (Aquí k es la constante de integración)

así que $e^x f(x)$ es constante.

Aquí, $e^x f(x) = e^k$ y establecer $x = 1$ . Entonces, como $f(1) = 1$ , $e f(1) =e^k $ así que $f(x) = e e^{-x} = e^{1-x}$ .

Así que.., $f(x)= e^{1-x} \implies\ \ $ La opción (b) es correcta.