¿Es el sumo de una función medible de dos variables siempre medible?

Question

Problema : [Deja $(X, \mathcal{A})$ y $(Y, \mathcal{B})$ sean dos espacios medibles y que $f\geq 0$ sea medible con respecto a $\mathcal{A} \times \mathcal{B}$ . Sea $g(x)=\sup_{y\in Y} f(x, y)$ y supongamos $g(x)<\infty$ para cada $x$ . Es $g$ necesariamente medible con respecto a $\mathcal{A}$ ? Si no es así, encuentra un contraejemplo].

He intentado encontrar el contraejemplo. He puesto $X=Y=[0, 1]$ et $$f(x, y)=\begin{cases}\mathbf{1}_{y} (x) \quad y\in E_0 \\ 0 \quad \text{otherwise}\end{cases}$$ para algún conjunto no medible $E_0\in [0, 1]$ . Entonces $g(x)=\sup_y f(x, y)$ se convierte en $g(x)=\mathbf{1}_{E_0} (x)$ que no es medible, pero estoy confundido si puedo decir función de dos variables $f$ es medible. ¿Podría darme algunas pistas? Gracias.

Answer 1

La función que has especificado no es medible (es la función característica de $E_0$ visto como un subconjunto de la diagonal), un contraejemplo tiene que depender de ambas coordenadas de forma sustancial.

Para construir un contraejemplo, puede ser útil el siguiente hecho: existe un subconjunto de Borel de $[0,1]^2$ tal que su proyección sobre el primer intervalo no es Borel (la proyección es un conjunto analítico no Borel). El resto es sencillo.