derivadas de orden superior de tres funciones compuestas

Question

¿Cómo puedo obtener una fórmula para las derivadas de orden superior para el compuesto de tres funciones como $f(g(h(x)))$ ?

Answer 1

Este es un enfoque de dos pasos basado en la $n$ -derivada del compuesto de dos funciones. Se establece como identidad (3.56) en la obra de H.W. Gould Tablas de Identidades Combinatorias, Vol. I y llamó:

Forma Hoppe de la regla de la cadena generalizada

Dejemos que $D_g$ representan la diferenciación con respecto a $g$ y $g=g(x)$ . Por lo tanto, $D^n_x f(g)$ es el $n$ -derivada de $f$ con respecto a $x$ . Lo siguiente es válido para $n\geq 1$ : \begin{align*} D_x^n f(g)=\sum_{k=1}^nD_g^kf(g)\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}g^{k-j}D_x^ng^j\tag{1} \end{align*}

Si consideramos $g=g(h)$ y $h=h(x)$ podemos aplicar la fórmula de Hoppes dos veces para encontrar el $n$ -derivada de $f(g(h(x)))$ :

Lo siguiente es válido para $n\geq 1$ : \begin{align*} D_x^n f(g(h))&=\sum_{k=1}^nD_g^kf(g(h))\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}\left(g(h)\right)^{k-j} D_x^n\left(g(h)\right)^j\\ &=\sum_{k=1}^nD_g^kf(g(h))\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}\left(g(h)\right)^{k-j}\\ &\qquad\cdot\sum_{p=1}^nD_h^p\left(g(h)\right)^j\frac{(-1)^p}{p!}\sum_{q=1}^p(-1)^q\binom{p}{q}h^{p-q}D_x^nh^q\tag{2} \end{align*}

Ejemplo $n=1,2$

Para ver la fórmula (2) en acción la evaluamos para pequeños $n=1,2$ . Como necesitamos para la evaluación de (2) la $n$ -derivada del compuesto de dos funciones comenzamos con (1) para $n=1,2$ . Para facilitar la lectura, a menudo omitimos el argumento $x$ . Escribimos, por ejemplo \begin{align*} f^\prime(g)\cdot g^\prime\qquad\text{instead of}\qquad f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) \end{align*} También utilizamos _Soportes Iverson_ para mejorar la legibilidad.

$D_x^1 f(g)$ : \begin{align*} D_x^1 f(g)&=\sum_{k=1}^1D_g^kf(g)\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}g^{j}D_x^1g^j\\ &=D_g^1f(g)\frac{(-1)^1}{1!}\left((-1)^1\binom{1}{1}g^0D_xg^1\right)\\ &=f^\prime(g)\cdot g^\prime \end{align*}

$$ $$

$D_x^2 f(g)$ : \begin{align*} D_x^2 f(g)&=\sum_{k=1}^2D_g^kf(g)\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}g^{k-j}D_x^2g^j\\ &=[k=1]D_g f(g)\frac{(-1)^1}{1!}\left((-1)\binom{1}{1}g^0D_x^2g\right)\\ &\qquad+[k=2]D_g^2f(g)\frac{1}{2}\left((-1)\binom{2}{1}g^1D_x^2g+\binom{2}{2}g^0D_x^2g^2\right)\\ &=f^\prime(g)\cdot g^{\prime\prime}+f^{\prime\prime}(g)\frac{1}{2}\left(-2gg^{\prime\prime}+D_x\left(2gg^\prime\right)\right)\\ &=f^\prime(g)\cdot g^{\prime\prime}+f^{\prime\prime}(g)\frac{1}{2} \left(-2gg^{\prime\prime}+2{g^{\prime}}^2+2gg^{\prime\prime}\right)\\ &=f^\prime(g)\cdot g^{\prime\prime}+f^{\prime\prime}(g)\cdot {g^{\prime}}^2\\ \end{align*}

$$ $$

$D_x^1 f(g(h))$ : \begin{align*} D_x^1 f(g(h))&=\sum_{k=1}^1D_g^kf(g(h))\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}\left(g(h)\right)^{k-j}\\ &\qquad\cdot\sum_{p=1}^1D_h^p\left(g(h)\right)^j\frac{(-1)^p}{p!}\sum_{q=1}^p(-1)^q\binom{p}{q}h^{p-q}D_x^1h^q\\ &=D_gf(g(h))\cdot(-1)\left((-1)\binom{1}{1}\left(D_h^1\left(g(h)\right)^1\cdot(-1)\left((-1)\binom{1}{1}h^0D_x^1h\right)\right)\right)\\ &=D_g(f(g(h))\cdot D_h(g(h))\cdot D_x(h)\\ &=f^{\prime}(g(h))\cdot g^{\prime}(h)\cdot h^{\prime} \end{align*}

$$ $$

$D_x^2 f(g(h))$ :

\begin{align*} D_x^2 f(g(h))&=\sum_{k=1}^2D_g^kf(g(h))\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}\left(g(h)\right)^{k-j}\\ &\qquad\cdot\sum_{p=1}^2D_h^p\left(g(h)\right)^j\frac{(-1)^p}{p!}\sum_{q=1}^p(-1)^q\binom{p}{q}h^{p-q}D_x^2h^q\\ &=[k=1]D_gf(g(h))\cdot(-1)\left((-1)\binom{1}{1}\left(g(h)\right)^0\right.\\ &\qquad\qquad\cdot\left([p=1]D_h(g(h))^1\cdot(-1)\left((-1)\binom{1}{1}h^0D_x^2h^1\right)\right.\\ &\qquad\qquad\quad+[p=2]D_h^2\left(g(h)\right)^1\frac{1}{2}\left.\left.\left((-1)\binom{2}{1}h^1D_x^2h^1 +\binom{2}{2}h^0D_x^2h^2\right)\right)\right)\\ &\quad+[k=2]D_g^2f(g(h))\cdot\frac{1}{2}\left([j=1](-1)\binom{2}{1}\left(g(h)\right)^1\right.\\ &\qquad\qquad\cdot\left([p=1]D_h^1\left(g(h\right)^1\cdot(-1)\left((-1)\binom{1}{1}h^0D_x^2h^1\right)\right.\\ &\qquad\qquad\quad+\left.[p=2]D_h^2\left(g(h)\right)^1\frac{1}{2}\left((-1)\binom{2}{1}h^1D_x^2h^1+\binom{2}{2}h^0D_x^2h^2\right)\right)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+[j=2]\binom{2}{2}\left(g(h)\right)^0\\ &\qquad\qquad\cdot\left([p=1]D_h^1\left(g(h)\right)^2\cdot(-1)\left((-1)\binom{1}{1}h^0D_x^2h^1\right)\right.\\ &\qquad\qquad\quad+\left.\left.[p=2]D_h^2\left(g(h)\right)^2\frac{1}{2}\left((-1)\binom{2}{1}h^1D_x^2h^1+\binom{2}{2}h^0D_x^2h^2\right)\right)\right)\\ &=[k=1]D_gf(g(h))\left(D_h(g(h))D_x^2h +D_h^2\left(g(h)\right)\cdot\frac{1}{2}\left.\left(-2hD_x^2h +D_x^2h^2\right)\right)\right)\\ &\quad+[k=2]D_g^2f(g(h))\\ &\qquad\qquad\cdot\frac{1}{2}\left([j=1](-2)g(h)\left(D_h g(h)D_x^2h^1 +D_h^2 g(h) \frac{1}{2}\left(-2hD_x^2h+D_x^2h^2\right)\right)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad+[j=2]\left(D_h\left(g(h)\right)^2D_x^2h\right. +\left.\left.D_h^2\left(g(h)\right)^2\frac{1}{2}\left(-2hD_x^2h+D_x^2h^2\right)\right)\right)\\ \end{align*}

Desde \begin{align*} -2hD_x^2h+D_x^2h^2&=-2hh^{\prime\prime}+D_x\left(2hh^\prime\right)\\ &=-2hh^{\prime\prime}+2{h^{\prime}}^2+2hh^{\prime\prime}\\ &=2{h^{\prime}}^2 \end{align*}

obtenemos \begin{align*} D_x^2 f(g(h))&=D_gf(g(h))\left(D_h(g(h))D_x^2h +D_h^2\left(g(h)\right)\cdot {h^\prime}^2\right)\\ &\quad+D_g^2f(g(h))\frac{1}{2}\left((-2)g(h)\left(D_h g(h)D_x^2h +D_h^2 g(h) \cdot {h^\prime}^2\right)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\left(D_h\left(g(h\right)^2D_x^2h\right. +\left.\left.D_h^2\left(g(h))\right)^2\cdot {h^\prime}^2\right)\right)\\ &=f^\prime(g(h))\left(g^\prime(h)\cdot h^{\prime\prime} +g^{\prime\prime}(h)\cdot {h^\prime}^2\right)\\ &\quad+f^{\prime\prime}(g(h))\frac{1}{2}\left((-2)g(h)\left(g^{\prime}(h)\cdot h^{\prime\prime} +g^{\prime\prime}(h) \cdot {h^\prime}^2\right)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\left(2g(h)\cdot g^{\prime}(h)\cdot h^{\prime\prime}\right. +\left.\left.D_h\left(2g(h)\cdot g^{\prime}(h)\right)\cdot {h^\prime}^2\right)\right)\\ &=f^\prime(g(h))\left(g^\prime(h)\cdot h^{\prime\prime} +g^{\prime\prime}(h)\cdot {h^\prime}^2\right)\\ &\quad+f^{\prime\prime}(g(h))\frac{1}{2}\left((-2)g(h)\left(g^{\prime}(h)\cdot h^{\prime\prime} +g^{\prime\prime}(h) \cdot {h^\prime}^2\right)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\left(2g(h)\cdot g^{\prime}(h)\cdot h^{\prime\prime}\right. +\left.\left.2{g^{\prime}(h)}^2\cdot {h^\prime}^2+2g(h)\cdot g^{\prime\prime}(h)\cdot {h^{\prime}}^2\right)\right)\\ &=f^\prime(g(h))\left(g^\prime(h)\cdot h^{\prime\prime} +g^{\prime\prime}(h)\cdot {h^\prime}^2\right)+f^{\prime\prime}(g(h))\cdot{g^{\prime}(h)}^2\cdot {h^\prime}^2\\ \end{align*}

El último paso fue un poco engorroso, pero finalmente lo conseguimos y obtuvimos resultados acordes con Wolfram Alpha.

Aquí el resumen \begin{align*} D_x^1 f(g)&=f^\prime(g)\cdot g^\prime\\ D_x^2 f(g)&=f^\prime(g)\cdot g^{\prime\prime}+f^{\prime\prime}(g)\cdot {g^{\prime}}^2\\ \\ D_x^1 f(g(h))&=f^{\prime}(g(h))\cdot g^{\prime}(h)\cdot h^{\prime}\\ D_x^2 f(g(h))&=f^\prime(g(h))\left(g^\prime(h)\cdot h^{\prime\prime} +g^{\prime\prime}(h)\cdot {h^\prime}^2\right) +f^{\prime\prime}(g(h))\cdot{g^{\prime}(h)}^2\cdot {h^\prime}^2 \end{align*}