(FD) ¿Cotiente por ideal conmutador una subálgebra?

Question

Un cociente de a $\mathrm{C}^*$ -no es generalmente una subálgebra. Los contraejemplos que he visto toman un álgebra conmutativa de dimensión infinita y cotizan por un ideal según aquí .

Mi pregunta se refiere al cociente de un $\mathrm{C}^*$ -por su ideal conmutador de tal manera que el cociente es de dimensión finita no nula aka sólo hay un número finito de caracteres.

¿Es el cociente una subálgebra en este caso?

Answer 1

Mira $$\mathcal A= \{ f: [0,1]\to M_2(\Bbb C) \mid f(0) = a\,e_{11}, f(1)= b\,e_{22}, \ \ a,b\in \Bbb C\}$$ donde $e_{ij}$ es la base habitual de $M_2(\Bbb C)$ .

Cualquier conmutador debe desaparecer en $0$ y $1$ . Fuera de estos dos puntos, hay que tener en cuenta que cualquier matriz en $M_2(\Bbb C)$ está en el ideal conmutador de $M_2(\Bbb C)$ . En particular, puede escribir $e_{ij} = \sum_k A_k [B_k, C_k]$ Además, puede escribir cualquier función $f$ en $[0,1]\to\Bbb C$ como producto de $3$ funciones a conseguir:

$$f(x) e_{ij} = f_{ij}(x) \sum_k A_k[B_k,C_k]= \sum_k h^{1}(x) A_k [h^2(x) B_k, h^{3}(x) C_k]$$

donde si $f$ se desvanece en $0$ y $1$ puede asumir todas las $h^k$ para hacerlo también. Así que:

El ideal conmutador de $\mathcal A$ es igual a todas las funciones a $M_2(\Bbb C)$ desapareciendo en $0$ y $1$ . El cociente de $\mathcal A$ por este ideal es entonces $\Bbb C^2$ .

Ahora vamos a comprobar que $\Bbb C^2$ no es una subálgebra de $\mathcal A$ . La forma más sencilla de hacerlo es observar que $\mathcal A$ no tiene dos proyecciones autoadhesivas disjuntas:

Si $p$ es una proyección, entonces debe tomar los valores $0$ o $e_{11}$ (resp $e_{22}$ ) en en $0$ (resp $1$ ). Si tenemos dos proyecciones disjuntas, al menos una de ellas tiene que asumir $0$ en uno de los extremos (si no, el producto no es cero). Si una proyección $p$ tiene $p(x)=0$ para algunos $x$ entonces debe haber algún $x'$ con $0<\|p(x')\|<1$ (si no, su constante $0$ ). Pero la ecuación $$p(x') \overset!= p(x')^2$$ no puede satisfacerse para ninguna matriz autoadjunta de norma mayor que $0$ y menos de $1$ .