producto infinito de $1$ -La esfera no tiene un espacio de cobertura universal

Question

Este es el ejemplo 16 del capítulo 2, sección 5 de la Topología Algebraica de Spanier. En él se dice que: Cualquier producto infinito de $1$ -La esfera no tiene un espacio de cobertura universal. Un espacio de cobertura universal, por lo que sé, no tiene por qué estar simplemente conectado. En la misma sección del libro se ofrece un contraejemplo del ejemplo 18. Se agradece cualquier ayuda.

La definición de Spanier para una cubierta universal es: Si $p \colon \tilde{X} \to X$ es una cubierta universal. Entonces para cualquier proyección de cobertura $q \colon \tilde{X}^\prime \to X$ , hay $f \colon \tilde{X} \to \tilde{X}^\prime$ tal que $q \circ f = p$ . Estoy de acuerdo en que un espacio de cobertura simplemente conectado de $X$ es un espacio de cobertura universal de $X$ pero no creo que lo contrario se sostenga.

Answer 1

Otro argumento que utiliza la acción libre de $\pi_1$ en las fibras de una cubierta universal puede darse como sigue:

Supongamos que $Y:=\prod_{i=1}^\infty S^1$ tiene un espacio de cobertura universal $p:X\rightarrow Y$ . Arreglar $x_0\in S^1$ . Considere el elemento $\overline x=(x_0,\ldots,x_0,\ldots)$ de $Y$ . Hay una nhood abierta $U$ de $\overline x$ y algunas abiertas $\tilde U$ de $X$ , de tal manera que $p\upharpoonright\tilde U$ es un homeomorfismo hacia $U$ . Podemos suponer $U$ tiene la forma $$\prod_{i=1}^{n-1}U_i\times\prod_{i=n}^\infty S^1,$$ donde cada $U_i$ es un nhood abierto de $x_0$ . Ahora considere el bucle $\alpha:S^1\rightarrow \prod_{i=0}^\infty S^1$ dado por $x\mapsto (x_0,\ldots,x_0,x,x_0,\ldots)$ , donde el $``x"$ aparece en el $n$ posición. Entonces $\alpha$ es un bucle de $U$ . Como $p\upharpoonright\tilde U$ es un homeomorfismo obtenemos que $\alpha$ ascensores a través de $p$ a un bucle $\gamma$ de $X$ contenida en $\tilde U$ .

Sin embargo, $\alpha$ es un bucle no trivial de $Y$ y, por tanto, como $p:X\rightarrow Y$ es la cubierta universal de $Y$ debemos tener que la elevación de $\alpha$ no es un bucle.

Esta contradicción muestra $Y$ no puede tener una cobertura universal.

Answer 2

El problema es que si $\mathcal{A}$ es infinito, entonces el producto infinito $\prod_{\mathcal{A}} S^1$ no está conectada de forma semilibre. Compara esto con:

Spanier, Corolario 14, pág. 83 : Un espacio conectado, localmente conectado por trayectorias $X$ tiene un espacio de cobertura simplemente conectado si y sólo si es semilocalmente conectado.

Claramente $\prod_{\mathcal{A}} S^1$ está conectada y localmente conectada a la trayectoria. Por lo tanto, si no es semilocalmente conectado, no puede admitir un espacio de cobertura simplemente conectado. Por otro lado, más adelante argumentaré que cualquier espacio de cobertura universal de $\prod_{\mathcal{A}} S^1$ deben estar necesariamente conectados de forma sencilla. La contradicción establece que este espacio no admite ninguna cobertura universal.

$\prod_{\mathcal{A}} S^1$ no está conectada de forma semilibre: La condición para un espacio $X$ para ser semilocalizado simplemente conectado es para cada punto $x$ tener un barrio abierto $U\subseteq X$ tal que el homomorfismo $\pi_1U\rightarrow \pi_1X$ inducido por la inclusión es trivial. Ahora el producto infinito $\prod_{\mathcal{A}} S^1$ tiene la topología más gruesa tal que todas las proyecciones $pr_a:\prod_{a\in\mathcal{A}} S^1\rightarrow S^1$ son continuos. Cuando $\mathcal{A}$ es finito esto coincide con la topología de caja, es decir la topología generada por los conjuntos $\{\prod_{a\in\mathcal{A}}U_a\mid U_a\subseteq S^1_a\; \text{open}\}$ . Sin embargo, cuando $\mathcal{A}$ no es finita, entonces la topología de caja es estrictamente más fina que la topología de producto, y las dos no coinciden.

Desembalando las definiciones, la topología del producto se genera mediante uniones arbitrarias y finito intersecciones de la forma $pr_i^{-1}(U_i)=\{(x_a)_{a\in\mathcal{A}}\in\prod_{a\in\mathcal{A}}S^1\mid x_i\in U_i\}$ . Es evidente que cualquier intersección finita $U$ de tales subconjuntos tendrá una primera homotopía no trivial, y la inclusión $\pi_1U\rightarrow \pi_1(\prod_{a\in\mathcal{A}}S^1)$ no será trivial. Por lo tanto, $\prod_{a\in\mathcal{A}}S^1$ no está conectada de forma semilibre.

$\prod_\mathcal{A} S^1$ no tiene una cubierta universal no simplemente conectada : Supongamos que $p:X\rightarrow \prod_{a\in\mathcal{A}}S^1$ es una cobertura conectada. Entonces $p_*:\pi_1X\rightarrow \pi_1(\prod_{a\in\mathcal{A}}S^1)\cong \prod_{a\in\mathcal{A}}\pi_1S^1\cong \prod_{a\in\mathcal{A}}\mathbb{Z}$ es mónico. Nótese que el grupo objetivo es abeliano, por lo que la conjugación es trivial. Si $p_*(\pi_1X)=0$ entonces $X$ es simplemente conectada y por lo tanto no puede ser universal por lo anterior. Supongamos por tanto que existe un elemento no trivial $\alpha\in p_*(\pi_1X)\subseteq \prod_{a\in\mathcal{A}}\pi_1S^1$ . Entonces existe un espacio de cobertura $q:Y\rightarrow \prod_{a\in\mathcal{A}}S^1$ tal que $\alpha\not\in q_*(\pi_1Y))$ . Son fáciles de construir, véase el ejemplo 8, pág. 69. Ahora $\prod_{a\in\mathcal{A}}S^1$ es conectada y localmente conectada por un camino, por lo que se aplica el teorema 2, pág. 79, que afirma que no puede haber ningún morfismo $X\rightarrow Y$ en la categoría de espacios de cobertura conectados. Por lo tanto, $X$ no puede ser universal. Por lo tanto, la única cobertura de $\prod_{a\in\mathcal{A}}S^1$ que podrían ser universales estarían simplemente conectados. Pero tal objeto no existe.