Cómo demostrar que una función no tiene soluciones reales

Question

Así que tengo la ecuación: $$ 0.7=0.04(10+x)+\frac{2100}{(10+x)^3} $$

Y he intentado resolver para x y no lo he conseguido, creo que sólo tiene soluciones complejas.

Así que mi pregunta es, ¿cómo puedo demostrar que esta ecuación no tiene soluciones para $x \ \varepsilon\ R$

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Puede definir la función $f(x)=0.04(10+x)+\frac{2100}{(10+x)^3}-0.7$ . Si la ecuación tiene una solución real, entonces esta función interseca el eje x en algún punto. Es una función bastante "bonita" (continua y diferenciable en casi cualquier punto), lo que significa que puedes utilizar sus derivadas y límites en puntos concretos para saber prácticamente cualquier cosa sobre su gráfica. Principalmente, si interseca o no el eje x.

Answer 2

Con $y=x+10$ se buscan las raíces (no nulas) de $\ 0.04 y^4-0.7 y^3 +2100$ un polinomio cuaternario que crece más allá de todos los límites para grandes valores positivos y negativos de $y$ y debe tener un mínimo intermedio.

En ese mínimo la primera derivada de la expresión, $0.16y^3-2.1y^2=(0.16y-2.1)y^2$ debe ser cero, pero para ambos candidatos, $y=0$ y $y=\frac{105}8$ el valor de la expresión es positivo.

Answer 3

Multiplicando por $$100(10+x)^3$$ y simplificando obtenemos

$$2\,{x}^{4}+45\,{x}^{3}+150\,{x}^{2}-2500\,x+90000=0$$ Esta ecuación sólo tiene Soluciones complejas.