A continuación se muestra la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{f(n)}$ está garantizado si el $a_n$ s son no crecientes. Sin embargo, mi respuesta original era la siguiente, que no asumía la $a_n$ son no crecientes. Esto demuestra que el $a_n$ s no decreciente es esencial para garantizar que la suma $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{f(n)}$ converge. ¿Qué pasa con $a_n$ definidos de la siguiente manera: $a_n = n$ si $3$ no divide $n$ y $a_n = 0$ en caso contrario, o de forma equivalente, si $n$ es un múltiplo de $3$ . Entonces, defina $f(n) = 3n$ .
Entonces, por un lado, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{f(n)}$ diverge; $\frac{a_n}{f(n)}$ es no negativo para todos los $n$ y es $\frac{1}{3}$ para cada $n$ que no es divisible por $3$ y hay un número infnito de tales $n$ . Por otro lado, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{|f(n)|}$ es $0$ como $f(n)$ es un múltiplo de $3$ para todos $n$ y $a_m$ es $0$ para todos $m$ que es un múltiplo de $3$ .
ETA: Aquí demostramos que si el $a_n$ s también son no crecientes, entonces la convergencia de la suma infinita $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{f(n)}$ está garantizado.
Sin embargo, si el $a_n$ son no crecientes es una historia diferente:
THM 1. Dejemos que $\{a_n\}; n=1,2,\ldots$ sea una secuencia no creciente de números positivos, y sea $\{f(n)\}; n=1,2,\ldots$ sea una secuencia de enteros positivos tal que $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ es $\infty$ . Además, supongamos que $\sum_{n=1}^{\infty} a_{f(n)}$ es finito. Entonces $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{f(n)}$ también es finito.
Ahora observamos que no suponemos nada más sobre $f$ en particular $f$ no se supone que sea creciente ni inyectiva.
Para demostrar THM 1, dejemos que $A$ sea el conjunto $A=\{n; f(n)>n\}$ y que $B$ sea el conjunto restante de números enteros, o de forma equivalente, $B=\{n; f(n)\le n\}$ . Ahora establecemos el siguiente resultado:
Lema 2. Supongamos las condiciones de THM 1. Entonces $\sum_{n \in B} \frac{a_n}{f(n)}$ es finito.
Prueba del lema 2: $$\sum_{n \in B} \frac{a_n}{f(n)} \le \sum_{n \in B} \frac{a_{f(n)}}{f(n)}$$ $$\le \sum_{n \in B} a_{f(n)},$$ la primera desigualdad que se desprende de la $a_i$ s no creciente en $i$ y $f(n)\le n$ para cada $n \in B$ .
Resto de la prueba de THM 1: Para terminar la demostración de THM 1, basta con demostrar que $\sum_{n \in A} \frac{a_n}{f(n)}$ es finito. Lo hacemos a continuación.
En primer lugar, dejemos que $F$ sea el conjunto de enteros $k$ de manera que haya al menos un $n$ tal que $f(n)=k$ . A continuación, escriba $F =\{k_1,k_2,\ldots \}$ donde el $k_i$ están en orden creciente, y si $k_1>1$ , definir un número entero adicional $k_0=1$ . Entonces las condiciones de THM 1 dan $$\sum_{i=0}^{\infty} a_{k_i} \le a_1+ \sum_{n=1}^{\infty} a_{f(n)} < \infty.$$ Además, para cada entero no negativo $i$ : $$a_{k_i} \ge \sum_{n=k_i}^{n=k_{i+1}-1} \frac{a_n}{k_{i+1}-k_i}$$ $$\ge \sum_{n=k_i}^{n=k_{i+1}-1}\frac{a_n}{k_{i+1}}.$$ [La primera desigualdad se deduce de la $a_n$ s no creciente]. Por lo tanto, la siguiente desigualdad es verdadera: $$\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=k_i}^{n=k_{i+1}-1} \frac{a_n}{k_{i+1}}$$ $$\le \sum_{i=0}^{\infty} a_{k_i} < \infty.$$
Ahora, dejemos que $n$ sea un número entero en $A$ y que $i$ sea un número entero no negativo tal que $k_i \le n < k_{i+1}$ . Entonces $f(n)>n$ [porque $n \in A$ ] y así $f(n) \ge k_{i+1}$ y por lo tanto la desigualdad $\frac{a_n}{f(n)}\le \frac{a_n}{k_{i+1}}$ es válida para ese $n$ . Así que, de forma equivalente, dejemos ahora que $i$ sea un número entero no negativo y defina un subconjunto $A_i$ de $A$ de la siguiente manera: $A_i =\{n \in A;$ $k_i \le n$ $<k_{i+1}\}$ . Entonces el $A_i$ s partición $A$ y para cada entero no negativo $i$ y cada $n \in A_i$ la desigualdad $\frac{a_n}{f(n)}\le \frac{a_n}{k_{i+1}}$ retenciones. Por lo tanto, a partir de esta observación:
$$\sum_{n \in A} \frac{a_n}{f(n)} = \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n \in A_i} \frac{a_n}{f(n)}$$ $$\le \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n\in A_i}\frac{a_n}{k_{i+1}}$$ $$\le \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=k_i}^{k_{i+1}-1}\frac{a_n}{k_{i+1}}$$ $$\le \sum_{i=0}^{\infty} a_{k_i}<\infty.$$ Por lo tanto, la desigualdad $\sum_{n \in A}\frac{a_n}{f(n)}$ $<\infty$ se mantiene y por lo tanto THM 1 sigue.
