Dos secuencias de variables aleatorias idénticamente distribuidas, pero diferentes desde el punto de vista de la convergencia

Question

Busco un ejemplo de dos secuencias de variables aleatorias ${X_n} $ y $X'_n $ de tal manera que ${X_n} $ converge a $X $ casi todos los lugares, pero $X'_n $ converge casi seguro a ninguna variable aleatoria y estas secuencias tienen la misma distribución.

¿Cómo es posible?

¿Hay alguna pista? Gracias

Answer 1

Una pista:

1. Para una distribución adecuada $\mu$ (por ejemplo, una distribución uniforme en $(0,1)$ ) encontrar dos variables aleatorias $X,Y$ que tienen tanto la distribución $\mu$ y que satisfacen $\mathbb{P}(|X-Y|>\epsilon)>0$ para algunos $\epsilon>0$ suficientemente pequeño.
2. Considere las secuencias $$X_n := X \qquad \quad Y_n := \begin{cases} X, & \text{$n$ is odd}, \\ Y, & \text{$n$ is even}. \end{cases}$$ Demuestra que $X_n$ converge casi con seguridad a $X$ y que $Y_n$ fait pas convergen casi con seguridad.