$A_n$ converge a cero y $B_n$ es acotado pero no necesariamente convergente, entonces $A_nB_n$ converge a $0$

Question

Tengo problemas con esto: Demostrar que si $A_n$ converge a cero y $B_n$ es acotado pero no necesariamente convergente, entonces $A_nB_n$ converge a $0$ .

No estoy seguro de lo que tengo hasta ahora (es un resumen): Utilizando el teorema de Bolzano-Weierstrass, podemos encontrar una subsecuencia convergente a $B_n$ (llamémoslo $B_{n_{k}}$ ) tal que $A_nB_{n_{k}}$ converge a $0$ (por álgebra sobre secuencias convergentes)

¿Qué pasa con todos los elementos de $B_n$ que no están en $B_{n_{k}}$ ?

Por cierto, sé que hay una prueba con el teorema del apretón, pero ¿hay otro método?

Perdón por todas las faltas de ortografía y por no saber formatear :)

Answer 1

Supongamos que $(b_n)_b$ limitado en valor absoluto por un $M$ . Sea $\varepsilon\in\mathbf{R}_{+}^{\times}$ . Como $(a_n)_n$ converge a $0$ existe un $N$ tal que para $n\geq N$ tenemos $|a_n|\leq \frac{\varepsilon}{M}$ . Entonces, si $n\geq N$ , usted tiene $|a_n b_n| = |a_n||b_n| \leq M\times \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon$ lo que demuestra, por la cuatificación, que $(a_n b_n)_n$ converge a $0$ .